一堂數學“回爐課”

一、提出問題

在上學期的市統測題中，高二文科數學的最后一道題為：已知數集序列{1}，{３，５}，{7，9，11}，{13，15，17，19}，…，其中第n個集合有n個元素，每一個集合都是由連續正奇數組成，并且每一個集合中的最大數與后一個集合中的最小數是連續奇數.（1）求數集序列第n個集合中最大數an的表達式；（2）設數集序列第n個集合中各數之和為Tn.①求Tn的表達式；②令f（n）＝（n∈Ｎ?鄢），求證：當n≥1，n∈Ｎ?鄢時，總有f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）＜.

這是一道數列與不等式的綜合題，學生反映最后一問證明不等式較難.考完試恰好又是數學課，學生都催促我講解最后一問，由于下午才進行集中評卷，我也不知道學生解題的具體狀況，便用慣用的解法向學生講解.

證明：（2）前面已求得 （1）an=n2+n-1；（2）①Tn=n3.

于是f（n）=，當n≥2時，

=＜＝＝［－］，所以

＋ ＋＋…＋＜{（－）＋（－）＋…＋［－］}＜［－］＜.

∴＋＋＋＋…＋＜１＋＝，得證.

講解時我注意特別強調：＜＝［－］與＜＝－類比是獲得解題思路的關鍵.但評講完后，學生仍覺得很難類比想到這種放縮結構，望著學生疑惑的眼神，我深知有必要對此題的評講進行“回爐”.

二、課堂實錄

下午集中評卷，我自告奮勇要求評審此題，情況大出我意料之外，真正用我講的方法解題的全級僅有8人，許多學生沒有證明出題目本身的的結論，而是證出了其它結論，現摘錄如下.

【結論1】 n≥1，n∈Ｎ?鄢時，總有＋＋＋＋…＋＜２.

證明：當n≥２時，＜＜=-，

∴＋＋＋＋…＋＜＋（－）＋（－）＋（－）＋…＋ （－）

∴＋＋＋＋…＋＜２－＜２，得證（證明出此結論的學生最多）.

【結論2】 n≥１，n∈Ｎ?鄢時，總有＋＋＋＋…＋＜.

證明：當n≥２時，＜＜＝＝（－），

∴左邊＜＋［（－）＋（－）＋（－）＋（－）＋…＋（－）＋（－）］

∴＋＋＋＋…＋＜１＋（１＋－－）＜，得證.

【結論3】 n≥１，n∈Ｎ?鄢時，總有＋＋＋＋…＋＜.

證明：當n≥２時，有

n２－（n＋１）＝（n－）２－≥（２－）２－＝１＞０，∴n２＞n＋１，

∴＜＝－

∴＋＋＋＋…＋＜＋（－）＋（－）＋（－）＋…（－）

∴＋＋＋＋…＋＜１＋－＜，得證.

第二天上課，我把以上證法呈現在黑板上，肯定其中的合理成分，同時指出：由于２＞，＞，＞，所以這些證明是徒勞無功的，只能給零分，學生都紛紛扼腕嘆息！

正想轉入其它題目的講解時，突然有個學生甲舉手說：“老師，我有發現！”語言中透著興奮，“我發現２＝，，＝，的分母都是4，分子不斷遞減，再往后不就是考題中的嗎？這說明可利用他們的方法證這道題！”

接著學生乙也興奮地站起來說：“老師，我也有新發現！”我示意他接著說，“我發現２＝，的分子、分母均不斷遞增，再往后就是，，，，等，這也說明可利用他們的方法證這道題！估計還有許多命題可證明，如：＋＋＋＋…＋＜，＋＋＋＋…＋＜，等等！”

頓時，教室里群情激昂，議論紛紛，課堂出現了“意外”，我于是迅速表揚這兩位學生的探索精神，肯定了他們的發現，并要求學生們進行討論.

馬上有學生發現：＋＋＋＋…＋＝１.200222＞，而＞＞＞…，=1+隨著的增大逐漸減小，所以能證明的命題只有：＋＋＋＋…＋＜

和考題本身，怎樣證明呢？

教室里一片沉靜！突然，學生丙走到講臺，在黑板上寫出自己的證明過程：當n≥２時，有n３-3n（n-1）=n［（n-）2+］＞0，∴n３＞3n（n-1），∴＜=（-），于是 ＋＋＋＋…＋＜+［（1-）+（-）+（-）+…＋（-）］

∴ ＋＋＋＋…＋＜1+（1-）＜，得證.

“你是怎樣想到這個方法的？”我問，學生丙說：“因為=1+，而我對=-又非常熟悉，所以才想到這個解法.”

“說得好，任何解題思路都源于對目標的結構分析和解題經驗，那么考題能否用此法證明呢？”我充分肯定學生丙對解題思路的分析，并對全體學生提出了新要求.

很快幾位基礎中等的學生舉了手，我讓學生丁走上講臺，在黑板上寫出對考題的證明過程：

當n≥２時，有n３-4n（n-1）=n（n-2）2≥0，∴ n３≥4n（n-1），

∴ ≤=（-），于是 ＋＋＋＋…＋≤+［（1-）+（-）+（-）＋…＋（-）］

∴＋＋＋＋…＋≤1+（1-）＜，得證.

望著黑板上整齊的書寫和興奮的學生，我非常高興，學生對這一道考題有了更深刻的認識.

三、教學思考

1. 要勇于上“回爐課”

“回爐課”的實質是教師對自己的課堂教學效果的反思.由于種種原因，教師對學生在某些方面的預想與學生真實的知識層次存在一定的差距，往往會造成課堂效果的弱化，這時上“回爐”課就顯得非常有必要.筆者對這道市統測題的講評進行了兩次，第一次給出的解法雖然較簡潔，在講解中也強調了＜＝［-］與＜=-等的類比，但由于該方法與學生的解題思想存在一定的差距，很難引起學生的共鳴；了解了學生在考試中的解法后，筆者又安排了第二講評，由于落腳點在學生的知識、方法的“近發區”，很快引起了學生的積極參與，學生的主體性、主動性得到了充分體現.

2. 把握時機，及時調整

對每一堂課，教師們都有自己完成教學任務的目標和計劃，但課堂上常常也會出現“有益的意外”.對這些“有益的意外”的重視和有效的處理，既能體現教師對學生真正的人文關懷，又能產生心理學中所說的“同體觀”效應，即自己人效應，從而獲得良好的教學效果.在講解本題的第二次的“回爐課”中，學生甲乙的“重大發現”無疑是一個非常“有益的意外”，如果教師置這種“有益的意外”于不顧，按自己的原計劃講評其它試題，則無疑喪失了一次解決問題的絕好機會.對學生提出的自己預設教案未考慮到的“有益的意外”，我們不能避開，而應給予充分肯定，進而改變原先的設計，轉入對學生提出問題的討論，尊重并鼓勵學生，提高學生的思維品質.

責任編輯羅峰

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