培養數學形象思維的策略探析

摘 要：把數學教學當成是思維活動的教學的現代教育觀，已廣泛深入地受到數學教育界的認同。作為數學思維的一個形式的數學形象思維，其重要性受到關注顯然是很順理成章的，探析數學形象思維是數學教學發展的必然。

關鍵詞：數學形象思維 表象 直感 想象 數形結 CAI

形象思維有表象、直感、想象三個層次的基本形式。在數學中，數學表象思維的載體是客觀實物的原型或模型以及各種幾何圖形、代數圖式，包括數學符號、圖像、圖表與公式等形象的外部材料。在數學表象的基礎上對數學形象的特征判別，這就是數學直感。想象是在頭腦中對已有表象經過結合和改造，產生新表象的思維過程。想象的基本材料是表象，想象的基本手段是直感。所以培養學生的數學形象思維能力，首先要使學生具有一定的表象，培養學生的直感，才能實現數學想象、聯想和猜想。

一、運用直觀教學，促進數學形象思維

直觀性教學是指在實物(客觀實物)、模型(圖片、圖形、有關數學實例)及語言(形象化語言、形體語言)等的刺激作用下，學生通過觀察、實驗、歸納、抽象，然后在頭腦中建立起與數學形象相聯系的感知覺、表象，繼而上升為數學概念、定理、法則等。直觀性教學在數學教學中之所以重要，是因為直觀性的視覺材料比詞語所代表的抽象概念更易于學生感知和掌握，同時這也是由人們認識事物的規律決定的。數學直觀性教學可以包括以下三條途徑。

1.數學知識的具體化高中數學中的概念、命題等都有具體、生動的現實原型。賦予數學知識、數學理論以直觀的敘述，充分利用學生頭腦中已有的映像，是學習知識、解決問題的一條捷徑。另外，數學內部問題的實際化也是進行直觀化教學的較好的方法，例如，高中階段真分數不等式，如果聯系實際生活中往糖水中加糖后甜味更濃來解釋這個不等式，則這個不等關系就更容易被學生理解和掌握。

2.數學實驗演示傳統數學教學中，數學知識的形成過程被淡化，甚至完全被忽略了，數學的發現探索活動被機械訓練所替代，這使學生容易形成思維定勢、創新意識薄弱。波利亞認為：“實驗在數學發現和創造過程中同樣是重要的。”數學新課程的基本理念中也提到：“應倡導自主探索、動手實踐等學習方式。”作為具體的實施方法，數學教學中，可以由教師來操作實驗，比如用模型來進行演示，這種方法在立體幾何的教學中經常用到。另一方面，教師也可以要求學生自己動手，讓學生在主動操作、探索中形成數學知識。例如，在進行“橢圓及其標準方程”這一課的教學中，教師可以讓學生根據要求畫出圖象，進而得出橢圓的定義，還可以由師生共同完成實驗。需要注意的是，數學實驗要結合教材內容，適當地創設學生動手、動口、動腦的機會，感知知識的形成、發展過程。

3.發揮CAI優勢傳統課堂教學中“一塊黑板、一支粉筆、一張嘴、一本書”或“板書+掛圖”、“模型”等教學手段的使用雖然在一定程度上可以豐富學生的表象，促進學生的數學形象思維，但這些作用始終非常有限，而且在很多情況下很難用這些媒體展現抽象的數學知識的直觀背景。CAI(計算機輔助教學)等現代教學手段的使用，拓展了直觀教學的手段。多媒體等現代化教學手段在課堂中的運用，突破了傳統教育觀念，加速了教學內容和教學形式的改革，促進了教學手段和管理水平的現代化。可見，多媒體的廣泛使用正在數學教學中產生深遠的影響。例如立體幾何的教學，平面解析幾何的教學，利用一元二次函數求最值問題等，借助于多媒體使學生更易于理解和掌握，并且豐富了數學表象。

二、建立知識網絡，發展數學形象思維

聯想和猜想是數學形象思維中兩種重要的思想方法。聯想是由此及彼的思維過程。要使聯想發生，新知識與原有認知之間要建立聯系，也就是找到聯結點。在此基礎上，才能做出猜想。數學知識之間相互聯系的特性為聯想的發生創造了條件。舉例而言，函數始終貫穿于整個高中階段的數學，向量也與直線以及解斜三角形等建立了聯系。因而，建立知識網絡是發展數學形象思維的前提。

1.注意數形結合形象思維的發展、形象思維能力的提高并不是獨立的，它需要在邏輯思維的指導下，才能有更好、更深的發展，數形結合就是一個很好的例子，也是發展數學形象思維的良好途徑。數形結合的過程，是在數學概念、判斷、推理的導下，運用聯想和猜想方法展開的思維活動過程。數形結合是貫穿于數學發展歷史河中的一條主線，并且使數學在實踐中的應用更加廣泛和深入。然而在數學教學中形的作用卻往往被忽視。具體地說，由于“形”的具體、直觀特點，許多教師忽略了對形的認識、觀察等環節的教學，在課堂上表現為教師接給出圖像或圖表等所蘊涵的意義。正因為此，學生讀圖及識圖能力低下，不能確理解圖、表所傳遞的信息也就不足為怪了。在第二次國際教育進展評估(IAEP)，我國學生數學測試成績遠遠高于其它國家，但在“根據圖作出判斷”一題中得分分別低于韓國、瑞士、加拿大等國家。此外，這一調查也顯示我國的學生沒有數與融于一體的自覺意識，不能由數思形或由形憶數。筆者以為，有意識地培養學生建“數”與“形”這兩者之間的對應關系是我們努力的一個方向。具體的，筆者提出下三種方法：

（1）重視函數圖象的運用 函數是貫穿于整個高中數學的重要內容，函數的表示法一般說來有三種，即解析法、圖象法以及列表法。在高中數學學習以及解題中常用的是解析法和圖象法，解析法有利于嚴密的推理或解題，而圖象法能幫助我們解和分析問題。在傳統的數學教學中，解析法是受到教師和學生廣泛重視的，對圖象法相對來說比較忽視。所以，在注重函數解析的同時，也要重視函數的運用。在數學學習時，我們不僅要求學生能繪制出常用函數圖象，并能從已知的圖象中找出函數的定義域、值域、單調性、周期性、奇偶性等。

（2）說明代數式的幾何意義中學數學中有些代數式具有明顯的幾何意義，或經適當變形后可與某種幾何圖形建立聯系，如將 可理解為點（x，y）與(a，b)兩點間距離等等，如果學生能真正地自由切換，就能巧妙、簡捷地解決問題。

(3) 重視解析法的運用 解析法不僅是研究幾何問題的重要方法，而且是一種廣泛應用于其他領域的重要的數學方法。通過解析法，把點和坐標、曲線和方程等聯系起來，達到了形和數的結合。因此，在學生的數形結合能力的培養過程中不僅圖象法有著重要作用，解析法也不可忽視，甚至后者達到了更高層次的數與形的聯結。

2. 培養整體學習、思考的習慣

數學形象思維方法中有兩種重要的思維方法，即聯想和猜想，要求在數學學習中不僅能聯想到具體的數學形象，還要能通盤考慮儲存在頭腦中的思維材料，基于此，才能作出合乎邏輯的猜測，即猜想。所以，我們的教學要使學生的知識組成網絡狀或者形成合理的認知結構。具體在數學課堂中，一方面可以在數學知識的學習過程中精練知識，有效地構成相應的網絡。這就要求學生不僅能理解具體的概念、定理、公式和法則，而且要建立起知識間的內在聯系，分清主次、脈絡，找出基本方法。另一方面學生養成整體考察的習慣，對問題的來源和相關的概念進行一系列的綜合思考，能使學生在解題過程中豁然開朗。

發展學生的形象思維，前述的只是在教學中通常運用的方法，我們不應局限于這幾種方法，而是要根據不同的學習內容、學習目標以及不同的學習群體，選用其他行之有效的方法，如教師鼓勵學生大膽猜想，豐富學生的想象力，使學生的形象思維能力得到訓練；加強模型教學，促進思維不斷簡縮，發展形象思維等等。

形象思維與邏輯思維有著深刻的內在辯證關系。當邏輯思維受阻時，我們可以依靠形象思維，而形象思維獲得的成果，只有經過邏輯思維的篩選和錘煉，才能真正鑄造出思維精品。因此，在數學教學中，不僅要重視邏輯思維能力的培養，也要強調形象思維能力的培養。

參考文獻：

［1］胡俊敏.略論數學形象思維.中學教研：數學版，2003年5期.

［2］周實然.數學形象思維及特點和形式.貴州師范大學學報：自然科學版，1997年3期.

［3］周學海.數學形象思維及其教育意義.數學教育學報，1992年1期.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”