古典概型的解題規律探討

摘 要：古典概型在概率論中占有很重要的地位，是概率論發展初期的主要研究對象。古典概型問題千變萬化，解決古典概型問題的思想方法獨特、技巧性強，因此不易掌握其解題規律。本文從解決古典概型問題常用的工具：古典概型問題的性質、建立數學模型的方法兩方面，對古典概型問題進行了系統的分析、歸納、分類，并在此基礎之上通過典型例題的分析和計算對每一類問題的解題規律進行了探討，從而歸納總結出了多種解決古典概型問題的思想方法和解題技巧。

關鍵詞：古典概型 對稱性 化歸思想 數學模型

1.引言

古典概型是概率論的基礎知識，它既是進一步學習概率的基礎，又是學習過程中的難點，盡管概念直觀，計算公式簡單，但它所涉及的具體問題往往是復雜多變的，這就使得我們在解題的時候很難找到一種確切的套路和方法。本文從解決古典概型常用的古典概型問題性質、建立數學模型這兩個方面分別對古典概型問題進行了分類和歸納，并在此基礎之上通過典型例題的分析和計算對每一類問題的解題規律進行了探討，系統地總結歸納出了多種解決古典概型問題問題的思想方法和解題技巧。

2.利用問題的性質解古典概型問題

2.1化歸方法

化歸方法是數學中常用的方法之一，也是數學方法論中最基本和最典型的方法之一。在古典概型中，全概率公式體現了化歸的思想。這就是把一個比較復雜的隨機事件分解成若干個互不相容簡單事件之和。于是把問題轉化為計算這些簡單事件的概率，利用概率的可加性，得到最終結果。

例1：甲乙兩人比賽射擊，每回射擊勝者得1分。在每回射擊中甲勝的概率為α，乙勝的概率為β。（α+β=1）比賽進行到有一人比對方多2分為止。（多2分者為勝）求甲獲勝的概率。

由于比賽得分情況復雜，必須有分解成若干個簡單事件。分解原則是簡單事件的概率及條件概率容易計算，并且簡單事件構成一個完備事件組。

利用全概率公式解題，就是一種“化整為零”、化復雜為簡單的方法，而且使分析問題的思路變得清晰。

2.2用對稱性

一般說來，古典概型具有對稱性。對稱性的運用在古典概型問題中是很廣泛的。對于一些問題，如果巧妙地運用對稱性，則使問題迎刃而解。

例2：設甲擲均勻硬幣（n+1）次，乙擲n次，求甲擲出正面的次數多于乙擲出正面的次數的概率。

本題若是直接計算極為復雜，我們還是應用對稱性。

解：A=“甲擲出正面的次數多于乙擲出正面的次數”

3.通過建立模型研究解題方法

3.1袋中取球問題

設袋中有N個球，稱為總體，現從總體中一個一個隨機地摸球，共有四種不同的摸球方式：

（1）隨機地同時從袋中取若干球問題

隨機地同時從袋中取若干球問題是古典概型中的一類基本問題，其特點是所考慮的事件中只涉及球的結構而不涉及球的先后順序，計算基本事件數時只需考慮組合數即可。古典概型中的很多問題常常可以歸結為此類問題來解決。

（2）隨機地從袋中不返回取球若干次

隨機地從袋中不返回取球若干次就是指隨機地從袋中每次取一個球，取后不再返回袋中，連續進行若干次。這樣的取球過程實際上是按順序的，所考慮的事件也會涉及取球的順序，所以要用排列數計算基本事件數。

（3）隨機地從袋中有放回地取球若干次

隨機地從袋中有放回地取球若干次就是指隨機地從袋中每次只取一個球，然后依然放回袋中，連續進行若干次。這樣的取球過程事實上也是按順序取的，而且每個球都有被重復取出的可能，所考慮的事件依然會涉及取球的順

這個問題是超幾何概率問題的解。

摸球模型中的“球”，可以是有顏色和無顏色或多種顏色，可以是有編號或無編號的球，也可以是數、有共同特征的物品等。

3.2放球入箱問題

放球入箱問題事實上就是古典概型中的一個數學模型，其背景就是隨意地把一些球放入箱子里，要求不同放法就不同。基本事件數的計算會用到排列數，也會用到組合。綜上所述，袋中取球、排序、放球入箱等問題是古典概型的主要數學模型，掌握了它們的分析方法就可以解決具體的古典概型問題。

所謂分球入箱問題，也就是如何將n個球分配到N個箱子中去。這里，球有可辨和不可辨之分，箱子有最多可以容納一個球和可以容納任意個球之分。因此，有四種不同的分配方式：（1）每個箱子可容納任意個球，且球可辨；（2）每個箱子可容納任意個球，且球不可辨；（3）每個箱子最多只能容納一個球，且球可辨；（4）每個箱子最多只能容納一個球，且球不可辨。

例4：把n個球隨機地分到N（n≤N）個箱中，就上述四種不同的分配方式計算下列兩事件的概率：

（1）A=“某指定的n個箱中各有一球”；

（2）B=“恰有n個箱中各有一球”。

一般的，古典概型問題基本上可歸入上述兩種類型。因此，熟練掌握這兩種模型問題與這兩種模型間的識別訓練，對號入座進行分析、計算，問題就能順利解決。

4.總結

文中所探討的古典概型的解題思想和方法只是復雜多變的古典概型問題思想方法的一部分。古典概型雖然概念直觀，計算工具簡單，但因其涉及的具體問題的樣化，使得它不僅具有獨特的思想方法，同時也具有很高的數學思維性，所以很有必要對其進行深入的研究。

參考文獻：

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注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”