基于最近發(fā)展區(qū)理論的初中數(shù)學(xué)教學(xué)難點(diǎn)的處理

摘 要：數(shù)學(xué)課堂中如何處理好難點(diǎn)的教學(xué)，使學(xué)生容易理解和接受所學(xué)知識(shí)，同時(shí)又讓學(xué)生不感到吃力，提升學(xué)習(xí)者的學(xué)習(xí)興趣，使?jié)撃艿玫介_(kāi)發(fā)，并且能按照學(xué)習(xí)者的認(rèn)知水平的提高，而循序漸進(jìn)地學(xué)習(xí)新知，這是數(shù)學(xué)教育歷來(lái)都學(xué)要面對(duì)的問(wèn)題。本文就從最近發(fā)展區(qū)的理論出發(fā)，通過(guò)對(duì)教學(xué)難點(diǎn)的階梯式處理模式的研究，探討了基于最近發(fā)展區(qū)理論的數(shù)學(xué)教學(xué)難點(diǎn)的處理這一課題。

關(guān)鍵詞：最近發(fā)展區(qū) 教學(xué)難點(diǎn) 階梯式處理

一、問(wèn)題的提出

先來(lái)看一個(gè)例子：（七年紀(jì)下“1.3三角形的高”例1）

如圖：在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分線，已知∠BAC=82°，∠C=40°，求∠DAE的大小。

在三角形的知識(shí)應(yīng)用中這個(gè)題目是很典型的，它的解答需要用到：三角形角平分線的概念、高的概念、內(nèi)角或外角的性質(zhì)，角的和、差。問(wèn)題具有一定的綜合性，這對(duì)初學(xué)者來(lái)說(shuō)會(huì)有不少的困難。當(dāng)然這樣的難點(diǎn)在數(shù)學(xué)教學(xué)中還很多，如何使學(xué)生弄懂這些難點(diǎn)，是數(shù)學(xué)教師教學(xué)中的重要工作之一。

二、階梯式處理

為了解決這個(gè)教學(xué)難點(diǎn)，我們可以先做一些鋪墊，就如同給學(xué)生幾級(jí)臺(tái)階，讓他們?nèi)菀咨先ァ?/p>

先讓學(xué)生求∠EAC的度數(shù)，∠EAC的度數(shù)由AE是AE是△ABC的角平分線而易求出。

再讓他們求∠DAC或∠AEC的度數(shù)。

這兩個(gè)角度的求得是比較方便的：

∠DAC=180°-∠ADC-∠C，∠AEC=180°-∠C-∠EAC

有上面的∠DAC或∠AEC的度數(shù)作鋪墊，學(xué)生對(duì)求∠DAE的大小就容易求得結(jié)果：

∠DAC=∠DAE+∠EAC或∠AEC=∠DAE+∠ADC

這就是階梯式處理，是在學(xué)生現(xiàn)有的認(rèn)知水平和要認(rèn)知的知識(shí)之間設(shè)置臺(tái)階，使學(xué)生容易跨過(guò)去，從而理解難點(diǎn)的教學(xué)處理方式。

三、階梯式處理的理論基礎(chǔ)

學(xué)習(xí)理論指出：在學(xué)習(xí)過(guò)程中新知識(shí)的輸入、同化和操作取決于原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，因而原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)對(duì)新知識(shí)的學(xué)習(xí)具有制約作用。一般而言，當(dāng)新、舊知識(shí)之間跨度較小，相互容納時(shí)，學(xué)習(xí)就能順利進(jìn)行。反之，當(dāng)新知識(shí)和學(xué)生的原認(rèn)知結(jié)構(gòu)脫節(jié)時(shí)就必然形成學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。階梯就是建立在學(xué)生已有的認(rèn)知水平和要學(xué)習(xí)的新知識(shí)之間的橋梁。

在上面的例子中，三角形的內(nèi)角和是學(xué)生掌握比較好的知識(shí)，因此學(xué)生求∠DAC或∠AEC的度數(shù)是比較容易的，這是學(xué)生的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”。數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)是著名數(shù)學(xué)教育家弗賴(lài)登塔爾（Hans Freudenthal）的三個(gè)數(shù)學(xué)教育原則之一，弗氏認(rèn)為：“每個(gè)人都有自己的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，數(shù)學(xué)教學(xué)需要根據(jù)學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)來(lái)展開(kāi)?！痹谏厦娴睦又?，學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)就是在三角形中已知其中兩個(gè)角易求第三角，因此我們的教學(xué)就從三角形的內(nèi)角和出發(fā)。但弗賴(lài)登塔爾沒(méi)有闡述如何在學(xué)生已有的知識(shí)和要學(xué)習(xí)的知識(shí)之間建立橋梁。而前蘇聯(lián)心理學(xué)家維果茨基則對(duì)此做了論述，維果茨基的最近發(fā)展區(qū)理論認(rèn)為：在學(xué)生實(shí)力所能達(dá)到的水平與經(jīng)過(guò)別人給予協(xié)助可能達(dá)到的水平之間有一段差距，這就是該學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)。在教學(xué)中為了使學(xué)習(xí)能在這里有效地展開(kāi)，由一個(gè)更有能力的人來(lái)幫助學(xué)習(xí)者從現(xiàn)有水平進(jìn)步到潛在水平的這個(gè)過(guò)程稱(chēng)為腳手架或支架（J·S·Brunner 1985）。教師的作用就是幫助學(xué)生搭建這樣的腳手架，因而教學(xué)的最佳效果產(chǎn)生在最近發(fā)展區(qū)（張春興1998）。

維果茨基的最近發(fā)展區(qū)理論在教學(xué)上具有重要的意義，教學(xué)的最佳效果產(chǎn)生于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)。當(dāng)然最近發(fā)展區(qū)理論只能視為原則，不能作為方法。但它為我們的階梯式處理方法提供了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。教學(xué)中如何確認(rèn)學(xué)生的原有認(rèn)知水平和潛在的發(fā)展水平，從而采用適當(dāng)?shù)姆椒閷W(xué)生鋪設(shè)階梯，是教學(xué)工作的重點(diǎn)。

四、如何設(shè)置階梯

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，對(duì)于教學(xué)中的具體難點(diǎn)，如何設(shè)置階梯呢？有多少類(lèi)型的階梯式處理方式呢？本人認(rèn)為歸納起來(lái)大致有這三種：從特殊到一般、圖形直觀、類(lèi)比。

1.從特殊到一般

階梯設(shè)置（階梯式處理的主要方式是設(shè)置階梯）的目的是為了方便學(xué)習(xí)者理解，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。故在設(shè)置時(shí)要考慮到學(xué)習(xí)者的知識(shí)起點(diǎn)，照顧其“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”，即設(shè)置的階梯應(yīng)是學(xué)生容易邁上去的，應(yīng)由易到難、由低到高，這樣才能起到事半功倍的效果。在解題或教學(xué)過(guò)程中遇到困難的問(wèn)題，從特殊開(kāi)始是一種比較有效的方法。這就給我們一種有益的啟示，對(duì)于有些難點(diǎn)可以采取從特殊到一般的方法來(lái)處理。

例如（七年級(jí)上“7.2線段、射線和直線”），在直線a上有n個(gè)點(diǎn)，則圖中共有幾條線段？

在教學(xué)過(guò)程中如何讓學(xué)生得到線段數(shù)(n-1)+(n-2)+…+3+2+1是個(gè)教學(xué)難點(diǎn)。

首先可以讓學(xué)生先分析直線上分別有2、3、4、5個(gè)點(diǎn)時(shí)的線段條數(shù)1、3、6、10，接下來(lái)引導(dǎo)學(xué)生完成如下的式子：

然后讓學(xué)生觀察點(diǎn)數(shù)與相對(duì)的等式右邊的最大的數(shù)的關(guān)系，就容易歸納得到在直線a上有n個(gè)點(diǎn)時(shí)，則圖中線段條數(shù)為(n-1)+(n-2)+…+3+2+1。

例如（八年級(jí)下“2.2一元二次方程解法”），用配方法解一元二次方程是教學(xué)難點(diǎn)，如果解決了對(duì)形如x2+bx=c的配方解法，那么對(duì)一般形式下ax2+bx+c=0(a≠0)的配方解法就很容易了。

在教學(xué)中對(duì)于x2+bx=c的配方解法，如果教師直接告訴學(xué)生應(yīng)該“在方程的兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方”，這對(duì)初學(xué)者來(lái)說(shuō)是難以理解的。在不理解的情況下，留給學(xué)生的只能是對(duì)結(jié)論的機(jī)械性的記憶了，對(duì)他們的學(xué)習(xí)興趣、能力的培養(yǎng)是不利的。那么在教學(xué)中可以利用具體例子如x2+4x、x2-6x來(lái)介紹如何配方，再得到對(duì)x2+bx=c的配方方法。

首先給出填空：(x+2)2=x2?搖?搖x+( )2

(x-3)2=x2?搖?搖?搖x+( )2

由于學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2，上述的題目他們是容易完成的。

在此基礎(chǔ)上利用x2+4x+(2)2=(x+2)2， x2-6x+(-3)2 =(x-3)2學(xué)生就容易明白要對(duì)x2+4x、x2-6x配方還要加上某數(shù)的平方。

進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析這個(gè)數(shù)與一次項(xiàng)系數(shù)有何關(guān)系？從而得到：這個(gè)數(shù)是一次項(xiàng)系數(shù)的一半。

到此學(xué)生也就容易明白對(duì)x2+4x、x2-6x的配方應(yīng)該要加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方。

最后再利用x2+2ax+a2=(x+a)2來(lái)完成對(duì)形如x2+bx的配方。

經(jīng)過(guò)這樣的多步階梯處理，學(xué)習(xí)者在理解上就容易多了。

2.圖形直觀

有時(shí)在設(shè)置階梯時(shí)還要使用圖形，使問(wèn)題直觀生動(dòng)，例如（七年級(jí)上“5.4問(wèn)題解決的基本步驟”例2）：七年級(jí)二班有45人報(bào)名參加了文學(xué)社或書(shū)畫(huà)社。已知參加文學(xué)社的人數(shù)比參加書(shū)畫(huà)社的人數(shù)多5人，兩個(gè)社都參加的有20人，問(wèn)參加書(shū)畫(huà)社的多少人？

本例中的相等關(guān)系比較隱蔽，僅靠學(xué)生現(xiàn)有的經(jīng)驗(yàn)較難分析清楚其中的數(shù)量關(guān)系，如果先引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)出如下的圖示：再根據(jù)圖中的面積關(guān)系來(lái)分析等量關(guān)系就容易多了。

3.類(lèi)比

在數(shù)學(xué)教學(xué)常常會(huì)碰到兩類(lèi)事物在某些屬性上有相同或相似的情況，而在某些屬性上的相同或相似可以用來(lái)歸納為明確的概念，進(jìn)而構(gòu)建其他一致之處。所以在某些教學(xué)難點(diǎn)的處理上就可以利用類(lèi)比來(lái)設(shè)置階梯。

例如（七年級(jí)下“1.1認(rèn)識(shí)三角形”）：如圖，從三角形頂點(diǎn)向?qū)呉鰊條線段，則所得三角形的個(gè)數(shù)是幾個(gè)？

在教學(xué)中可以先來(lái)解決“在直線a上有n個(gè)點(diǎn)，則圖中共有幾條線段？”那么學(xué)生完全就可以利用類(lèi)比來(lái)解決上述問(wèn)題。

五、結(jié)論

最近發(fā)展區(qū)說(shuō)起來(lái)容易，但在實(shí)際操作中卻異常復(fù)雜。首先，這個(gè)理論在應(yīng)用過(guò)程中有一個(gè)不可否認(rèn)的優(yōu)點(diǎn)，就是讓教師明確了教學(xué)應(yīng)該在哪里展開(kāi)，即在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)實(shí)施教學(xué)，才能取得最佳效果，但事物都有兩面性，正是這個(gè)優(yōu)點(diǎn)也成了它的不足。由于支架的設(shè)計(jì)是一小步、一小步遞進(jìn)的，這當(dāng)然十分符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，學(xué)生也有一些思考，正如上面的幾個(gè)設(shè)計(jì)，應(yīng)該說(shuō)很好地運(yùn)用了最近發(fā)展區(qū)理論，學(xué)生也是容易接受的。但也有不足，那就是學(xué)生的思路一直跟著教師走，獨(dú)立思考的時(shí)間不多，從而會(huì)忽視學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)。

其次，同樣的兩個(gè)概念之間的區(qū)域，對(duì)不同的學(xué)習(xí)者最近發(fā)展區(qū)是不一樣的。對(duì)有的人而言，這個(gè)區(qū)域可以說(shuō)是一條小小的溝渠，一腳就跨過(guò)去，或者根本就不存在這個(gè)區(qū)域，認(rèn)為這兩個(gè)概念從前者至后者的發(fā)展是十分自然的，而對(duì)另一些人而言也許是巨大的鴻溝，甚至永遠(yuǎn)跨不過(guò)去。

另一方面，對(duì)某個(gè)知識(shí)而言，一個(gè)學(xué)習(xí)者的最近發(fā)展區(qū)到底有多少寬，也是很難確定的。多數(shù)情況下學(xué)生的發(fā)展區(qū)不是很寬的，但有的則寬得難以想象。

由此可以看出最近發(fā)展區(qū)的復(fù)雜性，這種復(fù)雜性在學(xué)生水平參差不齊的班級(jí)里表現(xiàn)得尤為明顯。當(dāng)一個(gè)班級(jí)的學(xué)生同時(shí)學(xué)習(xí)某個(gè)知識(shí)內(nèi)容時(shí)，教師設(shè)計(jì)的腳手架只能滿足一部分學(xué)生的需要，對(duì)優(yōu)秀學(xué)生而言，他們不需要這階梯，而后進(jìn)的學(xué)生來(lái)說(shuō)這個(gè)支架還是太高了，仍超過(guò)他們的認(rèn)識(shí)水平。

當(dāng)然在階梯設(shè)計(jì)過(guò)程中，由于學(xué)生的程度不同而造成的困難如何解決？一個(gè)學(xué)習(xí)者個(gè)體的現(xiàn)有水平如何快速地被找到？等等都可以作為進(jìn)一步研究的對(duì)象。這些都有待于我們?cè)诮窈蟮慕虒W(xué)研究中進(jìn)一步深入探索。

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注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。”