基于最近發展區理論的初中數學教學難點的處理

摘 要：數學課堂中如何處理好難點的教學，使學生容易理解和接受所學知識，同時又讓學生不感到吃力，提升學習者的學習興趣，使潛能得到開發，并且能按照學習者的認知水平的提高，而循序漸進地學習新知，這是數學教育歷來都學要面對的問題。本文就從最近發展區的理論出發，通過對教學難點的階梯式處理模式的研究，探討了基于最近發展區理論的數學教學難點的處理這一課題。

關鍵詞：最近發展區 教學難點 階梯式處理

一、問題的提出

先來看一個例子：（七年紀下“1.3三角形的高”例1）

如圖：在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分線，已知∠BAC=82°，∠C=40°，求∠DAE的大小。

在三角形的知識應用中這個題目是很典型的，它的解答需要用到：三角形角平分線的概念、高的概念、內角或外角的性質，角的和、差。問題具有一定的綜合性，這對初學者來說會有不少的困難。當然這樣的難點在數學教學中還很多，如何使學生弄懂這些難點，是數學教師教學中的重要工作之一。

二、階梯式處理

為了解決這個教學難點，我們可以先做一些鋪墊，就如同給學生幾級臺階，讓他們容易上去。

先讓學生求∠EAC的度數，∠EAC的度數由AE是AE是△ABC的角平分線而易求出。

再讓他們求∠DAC或∠AEC的度數。

這兩個角度的求得是比較方便的：

∠DAC=180°-∠ADC-∠C，∠AEC=180°-∠C-∠EAC

有上面的∠DAC或∠AEC的度數作鋪墊，學生對求∠DAE的大小就容易求得結果：

∠DAC=∠DAE+∠EAC或∠AEC=∠DAE+∠ADC

這就是階梯式處理，是在學生現有的認知水平和要認知的知識之間設置臺階，使學生容易跨過去，從而理解難點的教學處理方式。

三、階梯式處理的理論基礎

學習理論指出：在學習過程中新知識的輸入、同化和操作取決于原有的認知結構，因而原有的認知結構對新知識的學習具有制約作用。一般而言，當新、舊知識之間跨度較小，相互容納時，學習就能順利進行。反之，當新知識和學生的原認知結構脫節時就必然形成學習的難點。階梯就是建立在學生已有的認知水平和要學習的新知識之間的橋梁。

在上面的例子中，三角形的內角和是學生掌握比較好的知識，因此學生求∠DAC或∠AEC的度數是比較容易的，這是學生的“數學現實”。數學現實是著名數學教育家弗賴登塔爾（Hans Freudenthal）的三個數學教育原則之一，弗氏認為：“每個人都有自己的數學現實，數學教學需要根據學生的數學現實來展開。”在上面的例子中，學生的數學現實就是在三角形中已知其中兩個角易求第三角，因此我們的教學就從三角形的內角和出發。但弗賴登塔爾沒有闡述如何在學生已有的知識和要學習的知識之間建立橋梁。而前蘇聯心理學家維果茨基則對此做了論述，維果茨基的最近發展區理論認為：在學生實力所能達到的水平與經過別人給予協助可能達到的水平之間有一段差距，這就是該學生的最近發展區。在教學中為了使學習能在這里有效地展開，由一個更有能力的人來幫助學習者從現有水平進步到潛在水平的這個過程稱為腳手架或支架（J·S·Brunner 1985）。教師的作用就是幫助學生搭建這樣的腳手架，因而教學的最佳效果產生在最近發展區（張春興1998）。

維果茨基的最近發展區理論在教學上具有重要的意義，教學的最佳效果產生于學生的最近發展區。當然最近發展區理論只能視為原則，不能作為方法。但它為我們的階梯式處理方法提供了堅實的理論基礎。教學中如何確認學生的原有認知水平和潛在的發展水平，從而采用適當的方法為學生鋪設階梯，是教學工作的重點。

四、如何設置階梯

初中數學教學中，對于教學中的具體難點，如何設置階梯呢？有多少類型的階梯式處理方式呢？本人認為歸納起來大致有這三種：從特殊到一般、圖形直觀、類比。

1.從特殊到一般

階梯設置（階梯式處理的主要方式是設置階梯）的目的是為了方便學習者理解，激發學習興趣。故在設置時要考慮到學習者的知識起點，照顧其“數學現實”，即設置的階梯應是學生容易邁上去的，應由易到難、由低到高，這樣才能起到事半功倍的效果。在解題或教學過程中遇到困難的問題，從特殊開始是一種比較有效的方法。這就給我們一種有益的啟示，對于有些難點可以采取從特殊到一般的方法來處理。

例如（七年級上“7.2線段、射線和直線”），在直線a上有n個點，則圖中共有幾條線段？

在教學過程中如何讓學生得到線段數(n-1)+(n-2)+…+3+2+1是個教學難點。

首先可以讓學生先分析直線上分別有2、3、4、5個點時的線段條數1、3、6、10，接下來引導學生完成如下的式子：

然后讓學生觀察點數與相對的等式右邊的最大的數的關系，就容易歸納得到在直線a上有n個點時，則圖中線段條數為(n-1)+(n-2)+…+3+2+1。

例如（八年級下“2.2一元二次方程解法”），用配方法解一元二次方程是教學難點，如果解決了對形如x2+bx=c的配方解法，那么對一般形式下ax2+bx+c=0(a≠0)的配方解法就很容易了。

在教學中對于x2+bx=c的配方解法，如果教師直接告訴學生應該“在方程的兩邊加上一次項系數一半的平方”，這對初學者來說是難以理解的。在不理解的情況下，留給學生的只能是對結論的機械性的記憶了，對他們的學習興趣、能力的培養是不利的。那么在教學中可以利用具體例子如x2+4x、x2-6x來介紹如何配方，再得到對x2+bx=c的配方方法。

首先給出填空：(x+2)2=x2?搖?搖x+( )2

(x-3)2=x2?搖?搖?搖x+( )2

由于學生已經學過完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2，上述的題目他們是容易完成的。

在此基礎上利用x2+4x+(2)2=(x+2)2， x2-6x+(-3)2 =(x-3)2學生就容易明白要對x2+4x、x2-6x配方還要加上某數的平方。

進一步引導學生觀察、分析這個數與一次項系數有何關系？從而得到：這個數是一次項系數的一半。

到此學生也就容易明白對x2+4x、x2-6x的配方應該要加上一次項系數一半的平方。

最后再利用x2+2ax+a2=(x+a)2來完成對形如x2+bx的配方。

經過這樣的多步階梯處理，學習者在理解上就容易多了。

2.圖形直觀

有時在設置階梯時還要使用圖形，使問題直觀生動，例如（七年級上“5.4問題解決的基本步驟”例2）：七年級二班有45人報名參加了文學社或書畫社。已知參加文學社的人數比參加書畫社的人數多5人，兩個社都參加的有20人，問參加書畫社的多少人？

本例中的相等關系比較隱蔽，僅靠學生現有的經驗較難分析清楚其中的數量關系，如果先引導學生畫出如下的圖示：再根據圖中的面積關系來分析等量關系就容易多了。

3.類比

在數學教學常常會碰到兩類事物在某些屬性上有相同或相似的情況，而在某些屬性上的相同或相似可以用來歸納為明確的概念，進而構建其他一致之處。所以在某些教學難點的處理上就可以利用類比來設置階梯。

例如（七年級下“1.1認識三角形”）：如圖，從三角形頂點向對邊引出n條線段，則所得三角形的個數是幾個？

在教學中可以先來解決“在直線a上有n個點，則圖中共有幾條線段？”那么學生完全就可以利用類比來解決上述問題。

五、結論

最近發展區說起來容易，但在實際操作中卻異常復雜。首先，這個理論在應用過程中有一個不可否認的優點，就是讓教師明確了教學應該在哪里展開，即在學生的最近發展區實施教學，才能取得最佳效果，但事物都有兩面性，正是這個優點也成了它的不足。由于支架的設計是一小步、一小步遞進的，這當然十分符合學生的認知規律，學生也有一些思考，正如上面的幾個設計，應該說很好地運用了最近發展區理論，學生也是容易接受的。但也有不足，那就是學生的思路一直跟著教師走，獨立思考的時間不多，從而會忽視學習者學習能力的培養。

其次，同樣的兩個概念之間的區域，對不同的學習者最近發展區是不一樣的。對有的人而言，這個區域可以說是一條小小的溝渠，一腳就跨過去，或者根本就不存在這個區域，認為這兩個概念從前者至后者的發展是十分自然的，而對另一些人而言也許是巨大的鴻溝，甚至永遠跨不過去。

另一方面，對某個知識而言，一個學習者的最近發展區到底有多少寬，也是很難確定的。多數情況下學生的發展區不是很寬的，但有的則寬得難以想象。

由此可以看出最近發展區的復雜性，這種復雜性在學生水平參差不齊的班級里表現得尤為明顯。當一個班級的學生同時學習某個知識內容時，教師設計的腳手架只能滿足一部分學生的需要，對優秀學生而言，他們不需要這階梯，而后進的學生來說這個支架還是太高了，仍超過他們的認識水平。

當然在階梯設計過程中，由于學生的程度不同而造成的困難如何解決？一個學習者個體的現有水平如何快速地被找到？等等都可以作為進一步研究的對象。這些都有待于我們在今后的教學研究中進一步深入探索。

參考文獻:

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注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文?！?/p>