牛頓運(yùn)動(dòng)定律中的傳送帶問題

摘要：傳送帶問題是以真實(shí)物理現(xiàn)象為依據(jù)的問題，它既能訓(xùn)練學(xué)生的科學(xué)思維，又能聯(lián)系科學(xué)、生產(chǎn)和生活實(shí)際，因而，這種類型問題極具生命力。本文從牛頓運(yùn)動(dòng)定律的角度對(duì)傳送帶問題作了詳盡的闡述，將傳送帶分為了三種類型分別具體舉例，借以總結(jié)問題的突破方法，并作了變式拓展，以深化體會(huì)。

關(guān)鍵詞：傳送帶類型 摩擦力的突變 變式

力學(xué)中的傳送帶問題一般歸納起來可分為三大類：水平放置運(yùn)行的傳送帶；傾斜放置運(yùn)行的傳送帶；平斜交接放置運(yùn)行的傳送帶。解決此類問題的關(guān)鍵是對(duì)物體進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析和終態(tài)推斷，靈活巧妙地從力的觀點(diǎn)和能量的觀點(diǎn)來揭示其本質(zhì)特征和過程。本文由于篇幅所限，只從牛頓運(yùn)動(dòng)定律角度闡述。下面分別舉例加以說明，從中領(lǐng)悟此類問題的精華部分和解題關(guān)鍵所在。

一、分類解析

類型一：水平放置運(yùn)行的傳送帶問題

處理水平放置的傳送帶問題，首先是要對(duì)放在傳送帶上的物體進(jìn)行受力分析，通過比較物體初速度與傳送帶速度的關(guān)系，判斷物體所受摩擦力是阻力還是動(dòng)力；其二是對(duì)物體進(jìn)行運(yùn)動(dòng)狀態(tài)分析，對(duì)其全過程作出合理推論，進(jìn)而采用有關(guān)物理規(guī)律求解。

1.傳送帶速度方向從物體出發(fā)點(diǎn)A指向終點(diǎn)B（為方便說明，本文對(duì)傳送帶運(yùn)轉(zhuǎn)方向的說明均以與物體接觸的一面的速度方向?yàn)闇?zhǔn)）

（1）物體初速度v0小于傳送帶速度v的情況

例1：如圖，有一水平傳送帶以v=2m／s的速度勻速運(yùn)動(dòng)，現(xiàn)將一物體輕輕放在傳送帶上，若物體與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.5，從A到B的長(zhǎng)度為10ｍ，則傳送帶將該物體傳送至B所需時(shí)間為多少？

分析：以傳送帶上輕放物體為研究對(duì)象，在水平方向受向右的滑動(dòng)摩擦力，做v =0的勻加速運(yùn)動(dòng)。物體的運(yùn)動(dòng)有可能分為兩個(gè)過程：一是在滑動(dòng)摩擦力作用下作勻加速直線運(yùn)動(dòng)；二是達(dá)到與傳送帶相同速度后，無相對(duì)運(yùn)動(dòng)，也無摩擦力，物體開始作勻速直線運(yùn)動(dòng)。關(guān)鍵問題應(yīng)分析出若達(dá)到傳送帶的速度時(shí)物體勻加速運(yùn)動(dòng)的位移是否小于皮帶長(zhǎng)度，才能判斷第二個(gè)過程是否存在。

解析：由μmg=ma解得a=5m／s ，設(shè)經(jīng)時(shí)間t ，物體速度達(dá)到傳送帶的速度，據(jù)勻加速直線運(yùn)動(dòng)的速度公式v=v +at 解得t =0.4s，時(shí)間t 內(nèi)物體的位移S =at/2=0.4m＜10m，物體0.4s后無摩擦力，開始做勻速運(yùn)動(dòng)S =vt 。又因?yàn)镾 =S-S =9.6m，得t =4.8s，則傳送10m所需時(shí)間為t=t +t =5.2s。

評(píng)析：本題是較為復(fù)雜的一個(gè)問題，涉及了兩個(gè)物理過程。對(duì)于這類不能直接確定的問題可以采用試算的方法，如本題中可假設(shè)一直做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，求出經(jīng)過10m用2s，則2s末的速度v=at=5×2=10m/s，已超過了傳送帶的速度，這是不可能的；當(dāng)物體速度增加到2m/s時(shí)，摩擦力產(chǎn)生突變，瞬間就不存在了，這樣就可以確定第二個(gè)物理過程。

（2）物體初速度大于傳送帶速度的情況

若上例中物體以初速度v =4m/s從A端滑上皮帶輪，其余條件不變，試分析其運(yùn)動(dòng)情況。

分析：物體相對(duì)皮帶向右運(yùn)動(dòng)，在水平方向受向左的滑動(dòng)摩擦力，做初速度v =4m/s的勻減速運(yùn)動(dòng)。物體的運(yùn)動(dòng)同樣有可能分為兩個(gè)過程：一是在滑動(dòng)摩擦力作用下作勻減速直線運(yùn)動(dòng)；二是達(dá)到與傳送帶相同速度后，物體開始作勻速直線運(yùn)動(dòng)。關(guān)鍵問題也應(yīng)分析出若達(dá)到傳送帶的速度時(shí)，物體勻減速運(yùn)動(dòng)的位移是否小于皮帶長(zhǎng)度，才能對(duì)第二個(gè)過程是否存在做出正確判斷。

2.傳送帶速度方向從終點(diǎn)B指向物體出發(fā)點(diǎn)A

（1）物體初速度小于傳送帶速度的情況

如圖，水平傳送帶以速度v逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，一個(gè)小物塊（視為質(zhì)點(diǎn)）以v （v

分析：小物塊水平方向上受向左的滑動(dòng)摩擦力作用，向右做勻減速運(yùn)動(dòng)至速度減為零，之后仍在水平向左的滑動(dòng)摩擦力作用下改向左做加速運(yùn)動(dòng)，∵v ＜v，∴由對(duì)稱性得物塊向左加速至v 時(shí)恰好回到A側(cè)。

（2）物體初速度大于傳送帶速度的情況

若上例中小物塊的初速度v ＞v，則同樣滑上傳送帶時(shí)小物塊受向左的滑動(dòng)摩擦力作用，小物塊向右做勻減速運(yùn)動(dòng)。若要能返回左側(cè)，物塊應(yīng)向右減速至速度為0之后仍在水平向左的滑動(dòng)摩擦力作用下改向左做加速運(yùn)動(dòng)，∵v ＞v，∴由對(duì)稱性得物塊將加速至傳送帶速度v，之后將以速度v作勻速運(yùn)動(dòng)回到左側(cè)。

類型二：傾斜放置運(yùn)行的傳送帶

這種傳送帶是指兩皮帶輪等大、軸心共面但不在同一水平線上（不等高），傳送帶將物體在斜面上傳送的裝置。處理這類問題，同樣是先對(duì)物體進(jìn)行受力分析，而判斷摩擦力的方向是關(guān)鍵，正確理解題意和挖掘題中隱含條件是解決這類問題的切入點(diǎn)和突破口。（為簡(jiǎn)化問題，在此只討論物體無初速度的情況。）

1.物體從底端到頂端類型

例2：如圖所示，傳送帶以恒定速度v=2m/s運(yùn)行，傳送帶與水平面的夾角θ=30°，現(xiàn)將質(zhì)量m=10kg的物體輕放在傳送帶的底端，經(jīng)過一段時(shí)間后，物體被送到高為h=2m的傳送帶頂端。已知物體與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ= /2，g取10m/s 。求：物體從傳送帶底端運(yùn)動(dòng)到傳送帶頂端所用的時(shí)間。

解析：要求時(shí)間，必須先弄清物體是怎樣從底端運(yùn)動(dòng)到頂端的。將物體放到傳送帶上后，由于它與傳送帶的速度不等，故二者之間必產(chǎn)生相對(duì)滑動(dòng)，這時(shí)傳送帶對(duì)物體有沿斜面向上的摩擦力作用。根據(jù)物體的運(yùn)動(dòng)情況可知，它對(duì)地將做沿斜面向上的勻加速運(yùn)動(dòng)，加速度大小為a=（μｍｇcosθ-ｍｇsinθ）/ｍ，物體的速度加速到v所用的時(shí)間為t =v/a，在時(shí)間t 內(nèi)物體沿斜面向上的位移為s =v t /2=0.8m，傳送帶底端和頂端之間的距離為d=h/sinθ=4m＞0.8m，顯然，經(jīng)過時(shí)間t 后物體還尚未到達(dá)斜面頂端。物體的速度達(dá)到v后，由于μmgcosθ＞mgsinθ，它不可能相對(duì)傳送帶向下滑動(dòng)。因此，它只能與傳送帶一起以共同速度v沿斜面向上做勻速運(yùn)動(dòng)。注意，當(dāng)物體與傳送帶剛達(dá)到共速的瞬間，它們之間的摩擦力經(jīng)歷了一次突變過程，即由原來的滑動(dòng)摩擦力突變?yōu)殪o摩擦力，摩擦力的大小由原來μmgcosθ突變到mgsinθ。至此，物體從底端運(yùn)動(dòng)到頂端的運(yùn)動(dòng)過程已十分清楚。接下來求時(shí)間就是水到渠成的事了，后半段t =（d-s ）/v=1.6s，所以總時(shí)間t=t +t =2.4s。

評(píng)析：此種情況要求動(dòng)摩擦因數(shù)μ大于tanθ（θ為傳送帶與水平面的夾角）才可，若動(dòng)摩擦因數(shù)μ＜tanθ，則由于μmgcosθ＜mgsinθ，它根本不可能相對(duì)傳送帶向上滑動(dòng)。

2.物體從頂端到底端類型

傳送帶速度向上

例3：如圖所示，傳送帶與地面的傾角θ=37°，從A到B的長(zhǎng)度為16ｍ，傳送帶以V=10m/s的速度順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。在傳送帶上端無初速地放一個(gè)質(zhì)量為0.5㎏的物體，它與傳送帶之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5，求物體從A運(yùn)動(dòng)到B所需的時(shí)間。(sin37°=0.6，cos37°=0.8)

分析和解答：物體放在傳送帶上后，傳送帶給物體一沿平行傳送帶向上的滑動(dòng)摩擦力，因ｍｇsinθ＞μｍｇcosθ，即μ＜tanθ，物體由靜止開始加速下滑；a=（ｍｇsinθ-μｍｇcosθ）/ｍ=2m/s ;物體一直加速至B，S＝at /2＝16ｍ，得ｔ＝4s。

評(píng)析：顯然此種情況下若μ＞tanθ，物體根本無法下滑。

傳送帶速度向下

①μ＜tanθ

例4：如圖所示，若上例中傳送帶的速度方向?yàn)槟鏁r(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，仍求物體從A運(yùn)動(dòng)到B所需的時(shí)間。

分析和解答：物體放在傳送帶上后，開始階段，傳送帶的速度大于物體的速度，傳送帶給物體一沿平行傳送帶向下的滑動(dòng)摩擦力，物體由靜止開始加速下滑，有a =（ｍｇsinθ+μｍｇcosθ）/ｍ＝10m/s ，

物體加速至與傳送帶速度相等所需的時(shí)間ｔ ＝ｖ／a ＝1s;

發(fā)生的位移ｓ＝a ｔ/2＝5ｍ＜16ｍ;即物體加速到10m/s時(shí)仍未到達(dá)B點(diǎn)。

當(dāng)物體加速至與傳送帶速度相等時(shí)，由于μ＜tanθ，物體在重力作用下將繼續(xù)加速，此后物體的速度大于傳送帶的速度，傳送帶給物體一沿平行傳送帶向上的滑動(dòng)摩擦力（即滑動(dòng)摩擦力的方向在獲得共同速度的瞬間發(fā)生了\"突變\"），此時(shí)物體所受合力仍沿傳送帶向下，物體繼續(xù)加速下滑。

第二階段，有a ＝（ｍｇsinθ－μｍｇcosθ）/ｍ＝2m/s ;設(shè)此段物體滑到底端B所用時(shí)間為t ，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可知L -S＝ｖt ＋a t/2；解得：t ＝1s。所以物體由Ａ到Ｂ經(jīng)歷的總時(shí)間ｔ=t ＋t =2s。

②μ＞tanθ

若上例中，μ＞tanθ，則物體放在傳送帶上后，開始階段，傳送帶的速度大于物體的速度，傳送帶給物體一沿平行傳送帶向下的滑動(dòng)摩擦力，物體由靜止開始加速下滑；開始階段有ｍｇsinθ＋μｍｇcosθ=ｍa ;物體加速至與傳送帶速度相等所發(fā)生的位移S＝v /2a ，若s＜16ｍ，即物體加速到皮帶速度時(shí)仍未到達(dá)B點(diǎn)。

當(dāng)物體加速至與傳送帶速度相等時(shí)，由于μ＞tanθ，ｍｇsinθ＜μｍｇcosθ，此后傳送帶給物體一沿平行傳送帶向上的靜摩擦力（即摩擦力的方向及大小在獲得共同速度的瞬間發(fā)生了“突變”），此時(shí)物體合力為零，物體以與皮帶同速勻速下滑。

評(píng)析：從上述例題可以總結(jié)出，皮帶傳送物體所受摩擦力可能發(fā)生突變，不論是其大小的突變，還是其方向的突變，都發(fā)生在物體的速度與傳送帶速度相等的時(shí)刻。

類型三：平斜交接放置運(yùn)行的傳送帶

這種類型的解題思路實(shí)際是前面兩種類型的組合。

例5：如圖所示的傳送皮帶，其水平部分ab=2m，bc=4m，bc與水平面的夾角α=37°，一小物體A與傳送皮帶的滑動(dòng)摩擦系數(shù)μ=0.25，皮帶沿圖示方向運(yùn)動(dòng)，速率為2m/s。若把物體A輕輕放到a點(diǎn)處，它將被皮帶送到c點(diǎn)，且物體A一直沒有脫離皮帶。求物體A從a點(diǎn)被傳送到c點(diǎn)所用的時(shí)間。

分析：此題討論物體水平段運(yùn)動(dòng)過程同類型一中例1的分析，易知物體A先作初速為零的勻加速運(yùn)動(dòng)直到與傳送帶速度相同，再由計(jì)算可得，而后A在水平傳送帶上作勻速運(yùn)動(dòng)；而傾斜段運(yùn)動(dòng)過程的討論同類型二例4中第二階段的分析，A在bc段以與皮帶相等的初速度做勻加速運(yùn)動(dòng)至c點(diǎn)。本題答案為2.4s(具體解答過程略)。

二、解題方法歸納與提升

從以上示例可知，對(duì)傳送帶類型的動(dòng)力學(xué)問題，我們的基本分析方法為在受力分析（關(guān)鍵是摩擦力的判斷）的基礎(chǔ)上再劃分物體的運(yùn)動(dòng)過程。要判斷第二個(gè)運(yùn)動(dòng)過程是否存在，需假設(shè)物體的速度能達(dá)到與傳送帶同速時(shí)，比較物體此段通過的位移s與傳送帶長(zhǎng)度L的關(guān)系，若s＜L，則物體所受摩擦力在剛達(dá)同速時(shí)刻發(fā)生突變（特別對(duì)傾斜皮帶還需比較μ與tanθ的關(guān)系），從而得到第二階段的具體運(yùn)動(dòng)情況，使問題得以突破。

三、變式賞析

由于物塊在傳送帶上滑動(dòng)，既有對(duì)地位移，又有相對(duì)傳送帶運(yùn)動(dòng)，形成了學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，也成為高考命題的熱點(diǎn)，因此對(duì)傳送帶動(dòng)力學(xué)過程的變式分析（就是傳統(tǒng)傳送帶問題的拓展）也顯得尤為重要。下面選用一組傳送帶變式問題予以賞析。

變式1如圖所示，兩圓柱體A、B的半徑均為r＝0.2m，圓柱體圓心間的距離s＝1.6m，在機(jī)械帶動(dòng)下，均以ω＝8rad/s的角速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，兩圓柱的軸平行且在同一水平面上，均勻木板放置在兩個(gè)圓柱體上面，柱面與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.16。開始時(shí)，木板的重心恰在A的正上方。若木板由靜止開始運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)它的重心恰好到達(dá)B的正上方時(shí)，經(jīng)歷的時(shí)間為（ ）。（g取10m/s ）

分析：木板受圓柱體A、B的滑動(dòng)摩擦力作用，由靜止開始向右做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過時(shí)間t，木板運(yùn)動(dòng)速度與圓柱體A、B的線速度相等，由計(jì)算可得此時(shí)木板向右運(yùn)動(dòng)了距離l＜s。此后木板與圓柱體間無相對(duì)運(yùn)動(dòng)，不受摩擦力，做勻速直線運(yùn)動(dòng)。所求時(shí)間為兩段運(yùn)動(dòng)的時(shí)間之和，答案為C。

變式2傳送帶被廣泛地應(yīng)用于碼頭、機(jī)場(chǎng)和車站，如圖所示為一水平傳送帶的裝置示意圖，緊繃的傳送帶AB始終保持恒定的速率v=1m／s運(yùn)行。將一質(zhì)量m=4kg的行李無初速地放在A處，傳送帶對(duì)行李的滑動(dòng)摩擦力使行李開始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，隨后行李又以與傳送帶相等的速率做勻速直線運(yùn)動(dòng)．設(shè)行李與傳送帶之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.1，A、B間的距離L=2m，g取10m/s 。

(1)行李做勻加速直線運(yùn)動(dòng)的位移為多少?

(2)若提高傳送帶的運(yùn)行速率，行李就能較快被傳送到B處，求行李從A處以最短時(shí)間傳送到B處時(shí)傳送帶對(duì)應(yīng)的最小速率。

進(jìn)而用數(shù)學(xué)知識(shí)來加以處理，使之得出傳送帶的運(yùn)行速度至少多大。

評(píng)析：此題應(yīng)先分析行李在ｔ＝6s內(nèi)是何種運(yùn)動(dòng)，然后作出判斷，進(jìn)而求出加速度；再由數(shù)學(xué)知識(shí)求得傳送帶的速度為何極值時(shí)，其由Ａ到Ｂ的時(shí)間最短，這正是解題的突破口和關(guān)鍵。這是一道立意較新的數(shù)理有機(jī)結(jié)合的物理題，達(dá)到了考查學(xué)生能力的目的。

變式3（2006年全國(guó)高考理綜I第24題）一水平的淺色長(zhǎng)傳送帶上放置一煤塊(可視為質(zhì)點(diǎn))，煤塊與傳送帶之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ。初始時(shí)，傳送帶與煤塊都是靜止的。現(xiàn)讓傳送帶以恒定的加速度a 開始運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其速度達(dá)到v 后，便以此速度做勻速運(yùn)動(dòng)。經(jīng)過一段時(shí)間，煤塊在傳送帶上留下了一段黑色痕跡后，煤塊相對(duì)于傳送帶不再滑動(dòng)。求此黑色痕跡的長(zhǎng)度。

評(píng)析：本題在典型的傳送帶做勻速運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ)上，增加了傳送帶有一段做勻加速運(yùn)動(dòng)。首先要認(rèn)識(shí)到本題的主要物理過程，傳送帶在外力(電機(jī))作用下先加速后勻速，煤塊在滑動(dòng)摩擦力作用下一直做勻加速直線運(yùn)動(dòng)直至相對(duì)傳送帶靜止；其次要理解“留下了痕跡”的物理意義是什么（說明煤塊與傳送帶之間發(fā)生了相對(duì)滑動(dòng)，煤塊的加速度a小于a ）。本題舊題新作，不落俗套，有一定的開放性，能幫助學(xué)生對(duì)傳送帶物理模型的深入認(rèn)識(shí)和運(yùn)用。

從以上分析可以看出，處理傳送帶的相關(guān)問題首先是要認(rèn)真讀懂題意，深刻理解題目所描述的物理過程，全面仔細(xì)進(jìn)行受力和運(yùn)動(dòng)狀態(tài)雙分析，尤其注意物體與傳送帶速度相等時(shí)刻物體所受摩擦力的突變這個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，再應(yīng)用物理規(guī)律列方程求解。平時(shí)解題時(shí)應(yīng)勤思考、善比較、多歸納，這樣融會(huì)貫通，方能有效提高應(yīng)用能力，掌握處理物理問題的方法。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。”