波利亞的合情推理與高中數學新課程教學

合情推理是數學家波利亞（G. Polya）的“啟發法”(heuristic，即“有助于發現的”)中的一個推理模式。他給我們指出數學思維不是純“形式”的，它所涉及的不僅有公理、定理、定義及嚴格的證明，還有許許多多其它方面：推廣、歸納、類比以及從具體情況中辨認出或者說抽取出某個數學概念等等。數學教師應使學生了解這些十分重要的“非形式”思維過程。在日常生活中，合情推理幾乎無處不在，比如：“它可能是……”（猜測），“由上所述可得……”（歸納），“將人心比自心”（類比），“可以想象……”（聯想）等。

一、合情推理的引入是高中數學新課程的一種趨勢

世界上許多國家的中學數學課程中都有合情推理的內容，其中在美國、匈牙利、英國三國的中學數學課程和教學目標中均有體現。合情推理進入高中數學課程已經成為一種趨勢。2003年我國頒布的《普通高中數學課程標準（實驗）》順應了這種趨勢，第一次把合情推理引入高中數學課程。按照通常數學思想方法論的觀點，數學上的推理可分為兩種：論證推理與合情推理。其中論證推理用于開展數學證明，而合情推理用于提出數學問題并尋求問題解答探索過程。但我國數學教育界一直高度重視學生論證推理能力的培養，而忽略了合情推理的教學。隨著教育改革的深化，合情推理在數學教學中的意義和作用將越來越受到人們的重視。

二、合情推理已成為近幾年數學新課程高考的熱點

中學數學課程標準（新）明確規定：數學思維能力包括“會用歸納和類比進行推理的能力”，這種推理就是合情推理。波利亞一再強調：“數學家的創造性工作成果是論證推理，即證明；但是這個證明是通過合情推理，通過猜想而發現的。只要數學的學習過程稍能反映出數學發明過程的話，那么應當讓猜測、合情推理占有適當的位置。”合情推理的實質就是“發現”。合情推理主要包括類比推理和歸納推理。歸納法是由一類事物的部分對象具有某一屬性，而作出該類事物都具有這一屬性的推理；類比是在兩個或兩類事物之間進行比較，找出若干相似或相同的點后，推測在其他方面也可能存在相同或相似之處的推理方法。因此它們所推出的結論不一定為真，只能作為一種猜想。但它們在人們的認識活動中，卻發揮著極其重要的作用：“數學發現的方法。數學發現是以提出問題和解決問題為主要標志的，它是衡量一個人數學水平的重要方面?！睌祵W家拉普拉斯說：“數學本身賴以獲得真理的重要手段就是歸納和類比。”哲學家康德說：“每當理智缺乏可靠論證的思路時，類比這個方法往往可以指引我們前進?！辈ɡ麃喴舱f：“沒有這些思路(普遍化、特殊化和類比)，特別是沒有類比，在初等或高等數學中也許就不會有發現?！毙乱惠喺n改加大了對數學發現的合情推理的力度，使得歸納、類比、猜想等合情推理方法堂堂正正進入課本，進一步培養學生的數學探索能力。考查合情推理能力的題目也成為近幾年數學新課程高考的熱點。

例1、(2003年全國高考新課程卷)在平面幾何里，有勾股定理：“設△ABC的兩邊AB，AC互相垂直，則AB +AC =BC ?！蓖卣沟娇臻g，類比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的面面積與底面面積間的關系?？梢缘贸龅恼_結論是：“設三棱錐A-BCD的三個側面ABC、ACD、ADB兩兩相互垂直，則?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖。

分析：關于空間問題與平面問題的類比，通?？勺プ∪缦聨讉€類比關系：

平面→立體，點→線，線→面，直角三角形→直角四面體，可以得到：

AB +AC =BC →S+ S + S = S，這是通過類比、歸納、猜想得出的結論，最后要進行證明。本題的答案是：S+ S + S= S

評注：本題考查由平面幾何的勾股定理到空間的拓展推廣，主要是通過類比的思想進行，因此平時運用合情推理進行教學時，要注意滲透類比。類比有利于把問題化難為易、啟迪思維，正如波利亞指出：“類比是一個偉大的引路人，求解立體幾何問題往往有賴于平面幾何中的類比問題?！?/p>

三、合情推理的運用有利于培養學生的創造能力和創新精神

數學知識的創造需要猜想。一個定理被證明成立之前，往往要通過猜想發現這個定理的內容，并不斷地檢驗、修改、完善所提出的猜想，還要推測證明的思路，這一切都需要運用合情推理的方法。在教學中，如果說通過論證推理可以培養學生的運算能力、空間想象能力、邏輯推理的能力和嚴謹的治學態度，那么通過合情推理可以培養學生的創新思維能力、創造想象能力、創新實踐能力、求異精神和冒險精神，即培養學生的創造能力和創新精神。以下是一個運用合情推理進行教學的案例以及相應的反思。

例2、在等差數列{a }中，若a =0，則有等式a +a +…+a =a +a +…+a (n＜19，n∈N )成立，類比上述性質，相應的：在等比數列{b }中，若b =1，則有等式成立。

師：“類比”就是“類似比較”的意思，本例是等差數列與等比數列兩類數列的類比問題，我們不妨先用兩個示意圖來比較一下兩類數列的定義和性質：

①等差數列→用減法定義→性質用加法表述

②等比數列→用除法定義→性質用乘法表述

生：它們的定義相似，一個數列如果從第二項起，每一項與前一項的差是常數，那么稱它是等差數列；如果把其中的“差”字改寫成“比”字，那么就是等比數列的定義，即前者是“減”，后者是“除”。它們的性質也相似，在等差數列中，若m，n，q，p∈N ，且m+n=q+p，則a +a =a +a ；在等比數列中，若m，n，q，p∈N ，且m+n=p+q，則a ·a =a ·a ；前者是“加”，后者是“乘”。

師：現在本例中已知條件是在等差數列{a }中，若a =0，則有等式a +a +…+a =a +a +…+a (n＜19，n∈N 成立，已知條件是等差數列而且等式是用“加”法。

(學生很有興趣對結論進行類比猜測，更有興趣“克隆”已知條件，類比寫出結論b b …b =b b …b (n＜19，n∈N ))

案例反思：合情推理是創新的萌芽，它不僅是一種重要的推理形式，更是解決問題的一種重要方法。合情推理對于發展學生的創造性思維有著無法估量的作用。教學中，不論是概念的產生、定理、公式的發現，規律的探求，解決問題的方法與途徑的選擇，適當地引導學生運用合情推理去猜想，無論學生是否猜想出，都有助于培養學生的數學文化素養，即培養學生思維的習慣，使他們學會發現（發明）的技巧，領會數學的精神實質和基本結構，并提供應用于其他學科的推理方法。

傳統的數學課程內容“重結果、輕過程，重證明、輕猜想”。而理解一個數學命題，不是靠傳授和遷移，而是在學生自主參與的推理活動中“領悟”出來的，這是一個體驗、探索的“再創造”過程。現代教學論從“數學發現”出發，重視概念的形成過程、結論定理的發現過程、解題思路的產生過程，這些過程性的教學原則都離不開合情推理這種探索式的認知過程。而且，經歷這種“過程”不僅有助于學生學習和掌握數學知識，還有助于培養學生對數學的興趣和優良的思維品質。

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部制訂.普通高中數學課程標準(實驗).人民教育出版社，2003，4.

［2］［美］G.波利亞著.李志堯譯.數學與猜想；合情推理模式(第二卷).科學出版社，2001，5.

［3］［美］貝爾著.徐源譯.數學大師：從芝諾到龐加萊.上?？萍冀逃霭嫔纾?004年12月.

［4］［加拿大］約翰·華特生編選.韋卓民譯.康德哲學原著選讀.華中師范大學出版社，2000年5月.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文?！?/p>