用“數學思維活動”進行數學的教學

前蘇聯著名教育家斯托利亞爾在他所著的《數學教育學》一書中指出：“數學教學是數學思維活動的教學。”“數學思維活動”的教學所關心的不僅僅是活動的結果，而且更加注重活動的過程。筆者結合中學數學教學的實踐，談一些想法。

一、考慮學生現有的知識結構

知識和思維是互相聯系的，在進行某種思維活動的教學之前，首先要考慮學生的現有知識結構。一般人們認為，數學知識結構就是在數學中，包括定義、公理、定理、公式、方法等，它們之間存在的聯系，以及人們從一定角度出發，用某種觀點去描述這種聯系和作用，總結規律，歸納為一個系統。在教學中只有了解學生的知識結構，才能進一步了解他們的思維水平，考慮教新知識基礎是否夠用，用什么樣的教法來完成數學活動的教學。

二、考慮學生的思維結構

1.中學生思維能力之特點

中學生的運算思維能力處于邏輯抽象思維階段，盡管思維能力的幾個方面的發展有先后，但總的趨勢是一致的。首先，整個中學階段，學生的思維能力得到迅速發展，他們的抽象邏輯思維處于優勢地位。初中學生的思維，抽象邏輯思維雖然開始占優勢，可是在很大程度上還屬于經驗型，他們的邏輯思維需要感性經驗的直接支持。高中學生的抽象邏輯思維則是屬于理論型的，他們已經能夠用理論作指導來分析、綜合各種事實材料，從而不斷擴大自己的知識領域。其次，初中二年級是中學階段思維發展的關鍵期。從初中二年級開始，中學生的抽象邏輯思維開始由經驗型水平向理論型水平轉化，到高中一、二年級，這種轉化初步完成，這意味著他們的思維趨向成熟。

2.學習數學的幾種思維形式

（1）逆向思維。與由條件推知結論的思維過程相反，先給出某個結論或答案，要求使之成立各種條件。比如說，給一個濃度問題，我們列出一個方程來；反過來，給一個方程，就能編出一個濃度方面的題目，后者就屬于逆向型思維。

（2）造例型思維。某些條件或結論常常要用例子說明它的合理性，也常常要用反例證明其不合理性。根據要求構造例子，往往是由抽象回到具體，綜合運用各種知識的思考過程。例如：試求其反函數等于自身的函數。

（3）歸納型思維。通過觀察、試驗，在若干個例子中提出一般規律。

（4）開放型思維。即只給出研究問題的對象或某些條件，至于由此可推知的問題或結論，由學生自己去探索。比如讓學生觀察y＝sinx的圖象，說出它的主要性質，并逐一加以說明。

了解了學生的思維特點和數學思維的幾種主要形式，在教學中，結合教材的特點，運用有效的教學方法，思維活動的教學定能收到良好效果。

三、考慮教材的邏輯結構

我們現有的中學數學教材內容有的是按直線式排列，有的是按螺旋式排列。如果進行數學活動的教學，教材的邏輯結構就應有相應的變化。例如，關于一元一次方程應用題，中學課本里有濃度問題、行程問題、工程問題、等積問題，在講解時，可用一個方程表示不同問題，使它們得到統一，只是問題形式不同而已，其方程形式沒有什么本質差異，可一次講完幾個問題。而現有中學教材把它們分開，使學生覺得似乎幾種問題毫不相干。因為這些問題具體不同的思維形式，要受小學、初中和高中學生各階段思維發展不同特點的制約。

數學思維活動的教學，就是要盡量克服這些制約，使學生在短期內高質量獲取知識，大幅度提高思維能力，完成學習任務。

在考慮教材邏輯結構時，還應明確的一個問題是教材內容的特點，即初等數學有什么特點，對它應有一個總的認識。

1.初等數學是相對于抽象程度來說的，其內容方法都比較直觀具體，研究的對象大多可以看得見、摸得著，抽象程度不深，離開現實不遠，幾乎直接同人們的經驗相聯系。

2.初等數學是一門綜合性數學，它數形并舉，內容多種多樣，方法應有盡有，自然分成幾個部分，各部分又相互滲透、相互為用。

3.初等數學處于基礎地位。因為無論數學多么高深，總離不開四則運算，總要應用等式、不等式和基本圖形分析。初等數學又是整個數學的土壤和源泉，各專業數學領域幾乎都是在這塊土壤中發育成長起來的。

4.初等數學的普通教育價值。對中小學生來說，它的智能訓練價值遠遠超過了它的實用價值。

5.與高等數學相互滲透、相互為用。一方面，由于實踐中某些問題的出現，使初等方法被深入研究和發展成專門的數學分支，另一方面是高等數學中許多專題的初等化、通俗化。

“數學思維活動”的教學，不僅考慮初等數學的特點、教材的邏輯結構，而且具體的某段知識也要仔細研究，不同性質的內容用不同方法去處理，這就是下面要談的積極的教學方法問題。

四、考慮積極的教學方法

目前關于教學方法的研究呈現出一派興旺的局面，種類之多、提法之廣是歷史上少見的，如目前使用的自學輔導法、讀讀議議講講練練教學法、六單元教學法、五課型教學法、自學議論引導教學法、啟發誘導效果回授教學法、研究法、發現法等等。可以把這些方法歸結為一句話，那就是：積極的教學法。其宗旨是在傳授知識的同時，重視發展智力、培養能力。它們的特點是：充分調動學生的積極性，讓學生獨立解決一些問題，注意能力的培養。從實踐效果看，這些方法在某個階段，對某部分學生，結合某部分內容確實事半功倍，但這些方法哪個都不是萬能的，不是教學通法。因為教法要受學生水平的差異、興趣的不同、教材內容的變化，教師素質的不平衡等各方面條件的限制。

我們主張采用積極的教學法，因課、因人、因時、因地而異。比方說，對于教材內容多數是邏輯上分散的數學定義和公理等采用自學輔導法較為適宜，對于教材中的一般公式、定理等采用問題探索法較好，對于教材中理論性較強的難點一般采用講解法較好。教師要靈活掌握。

另外，從學習方法上看，隨著學科多樣化和深刻化，中學生的學習方法比小學生更自覺，更具有獨立性和主動性。因此，在教學中教師要注意啟發學生的積極思維。

究竟怎樣啟發學生去積極思維呢？方法是多種多樣的。比方說，創設問題情境，正確提供直觀材料讓學生從具體轉到抽象，也可運用已有知識學習新知識，把新舊知識聯系起來。還可以把語言和思維結合起來，達到啟發思維的目的。

從上面幾個方面來比較，“數學思維活動”教學的核心首先是教學方法，采用何種教學方法，就直接影響“數學思維活動”教學的效果。

其次是溝通知識間的內在聯系。數學有著嚴密的體系，學生揭示數學知識之間縱橫交錯的內在聯系，是學生主動思維活動的過程，可引導學生按知識的發生、發展、變化關系或邏輯關系整理出一個單元的知識結構和基本的研究方法，進行知識的引申、串變，提高學生靈活運用知識的能力。

再者要注重數學語言的表達。數學語言包含文字語言、圖形語言、符號語言，在教學過程中教師要進行語言間的轉換，特別是符號語言的準確表達，在邏輯推理過程中，充分利用數學學科特有的符號進行運算，從而進行合理、嚴謹的表達，展示其數學思維活動過程。

以上的做法確實收到了良好效果，教師應結合自己的教學實際，靈活運用，完成“數學思維活動”教學的任務。