利用定點(diǎn)巧解圓錐曲線問(wèn)題

有些動(dòng)曲線恒過(guò)定點(diǎn)，解題時(shí)若能抓住這個(gè)“小不點(diǎn)”，從定點(diǎn)入手，把定點(diǎn)作為尋找思路的切入點(diǎn)和突破口，往往可起到“點(diǎn)”到路開(kāi)，曲徑通幽，成功解題之功效。下面筆者通過(guò)例題介紹曲線過(guò)定點(diǎn)在解題中的應(yīng)用。

一、求參數(shù)的取值范圍

例1：已知直線y=kx-1與橢圓 + =1恒有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

分析：若聯(lián)立方程組消去x得到一元二次方程，再用△≥0求出m的范圍，這樣運(yùn)算量較大，過(guò)程較繁瑣。若注意到直線y=kx-1恒過(guò)定點(diǎn)(0，-1)這一條件，問(wèn)題就迎刃而解了。

解：由方程知直線y=kx-1恒過(guò)定點(diǎn)(0，-1)，要使直線與橢圓恒有公共點(diǎn)，則點(diǎn)（0，-1）必在橢圓內(nèi)或在橢圓上。故有 + ≤1，所以m≥1，又因?yàn)?+ =1表示橢圓，所以m＞0且m≠3。故所求實(shí)數(shù)m的取值范圍是［1，3）∪（3，+∞）。

二、證明有關(guān)問(wèn)題

例2：已知⊙C：（x-1） +(y-2) =25，直線l：(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0（m∈R），

（1）求證：不論m取什么實(shí)數(shù)，直線l與圓恒交于兩點(diǎn)。

（2）求直線l被⊙C截得的線段的最短長(zhǎng)度以及這時(shí)直線l的方程。

分析：證直線與圓恒相交，若用方程組有解，消去y得x的方程，再證明這個(gè)方程的二次項(xiàng)系數(shù)不為0，且△＞0，顯然運(yùn)算量較大，難將解法進(jìn)行到底。若證圓心到直線的距離恒小于半徑，雖運(yùn)算量小些，但對(duì)第二問(wèn)沒(méi)什么幫助。若注意到含參數(shù)m的直線一定過(guò)定點(diǎn)這一事實(shí)，又能聽(tīng)出不論m取什么實(shí)數(shù)，直線l與圓恒交于兩點(diǎn)的“弦外之音”，那么只需證明這個(gè)定點(diǎn)在圓內(nèi)即可。

解：（1）將直線l的方程按m整理，

∴ 對(duì)任意實(shí)數(shù)m，直線l恒過(guò)定點(diǎn)P（3，1），又圓心C的坐標(biāo)為（1，2），r=5

∴對(duì)任意實(shí)數(shù)m，直線l與圓恒交于兩點(diǎn)。

（2）當(dāng)直線l⊥CP時(shí)，直線l被⊙C截得的線段AB最短。

∴直線l的斜率為2

∴直線l的方程為：y-1=2(x-3)，即2x-y-5=0。

三、求離心率

例3：橢圓 + =1(a＞b＞0)上的一點(diǎn)P，使∠OPA=90°，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A為右頂點(diǎn)，則橢圓的離心率的取值范圍是（）。

解：∵∠OPA=90°，∴點(diǎn)P在以O(shè)A為直徑的圓上。

圓的方程為：x-+y = ，即x +y -ax=0①，

又點(diǎn)P在橢圓上

∴ + =1②，

由①、②消去y，得 c x -a x+a b =0

此方程有兩個(gè)實(shí)根，它們分別是圓與橢圓交點(diǎn)A、P的橫坐標(biāo)x ，x ，又x =a，由根與系數(shù)關(guān)系得ax = ，

點(diǎn)評(píng)：注意到一元二次方程c x-ax+ab=0的兩個(gè)根就是A、P兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)x 、x ，而x =a，再由根與系數(shù)關(guān)系求x 是本解法的巧妙之所在。若用求根公式解運(yùn)算量大，很難繼續(xù)進(jìn)行到底。

四、求最值

例4：設(shè)拋物線y =4x上不同于原點(diǎn)的兩點(diǎn)A、B，滿足 · =0，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)。

（1）在x軸上是否存在定點(diǎn)C，使得 =λ （λ為非零常數(shù)）。若存在求出C點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

（2）求△AOB面積的最小值及此時(shí)直線AB的方程。（07湖北部分重點(diǎn)中學(xué)期中聯(lián)考高二年級(jí)數(shù)學(xué)理第20題）

解：（1）假設(shè)在x軸上存在定點(diǎn)C，使得 =λ ，即直線AB與x軸交于定點(diǎn)C。顯然直線AB不能與x軸平行，設(shè)直線AB方程為：x=my+n，則n＞0，代入y =4x得y -4my-4n=0，設(shè)A（x ，y ），B（x ，y ），

∴直線AB方程為：x=my+4。

所以直線AB與x軸交于定點(diǎn)（4，0），故滿足題目條件的點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，0）。

（2）設(shè)△AOB面積為S，則

故此時(shí)直線AB方程為：x=4。

點(diǎn)評(píng)：由（1）知直線AB過(guò)定點(diǎn)C，∴OC=4，故可將△OAB分成以O(shè)C為底的兩個(gè)三角形的面積之和，得S=2(|y |+|y |)，再用均值不等式及y y =-16可得最小值。

從上數(shù)例可以看出，解題時(shí)若能充分利用曲線過(guò)定點(diǎn)這一已知條件，或者挖掘出曲線過(guò)定點(diǎn)這一隱藏條件，利用數(shù)形結(jié)合，揭示這一定點(diǎn)的幾何意義和代數(shù)意義，洞察定點(diǎn)和問(wèn)題之間的惟妙關(guān)系，則可達(dá)到快捷尋找解題思路，優(yōu)化解題過(guò)程之功效。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。”