基于小波變換的圖像去噪方法的研究與實現

摘 要： 本文將小波閾值去噪與維納濾波結合起來，在小波域進行維納濾波。為了完成估計和去噪兩個任務，我們設計了雙小波基維納濾波器，采用兩路小波變換。我們采用構造的調節閾值函數作為第一路小波濾波器，克服了硬閾值法產生的偽吉布斯效應和軟閾值法產生的邊緣模糊等失真現象，在有效去噪的同時很好地保留了圖象邊緣等局部特征。

關鍵詞： 圖像去噪 小波變換 小波閾值去噪 維納濾波

1 引言

噪聲是影響圖像質量的重要因素。噪聲的存在導致圖像的某些特征細節不能被辨識，圖像信噪比下降。在圖像處理中如何有效地去除噪聲，提取圖像信息變得尤為重要，而基于小波變換的去噪方法得到越來越廣泛的研究和應用。小波域去噪是根據信號和噪聲小波變換的不同表現形態，構造出相應的規則，對信號和噪聲的小波變換系數進行處理，處理的實質在于減小以至完全剔除由噪聲產生的系數，同時最大限度地保留有效信號對應的小波系數。

由于維納濾波器是一種最佳線性過濾器，即維納濾波是根據信號的自相關函數，在均方誤差最小的意義下對輸入信號作出最優估計。因此本文將小波閾值去噪與維納濾波結合起來，在小波域進行維納濾波。

2 構造調節閾值函數

軟硬閾值方法雖然在實際中得到了廣泛的應用，也取得了較好的效果，但它們本身存在著的缺點。在硬閾值方法中，信號f(i)離散采樣后的小波系數為Wf(j，k)，記w =Wf(j，k)，而w 的估計在λ和-λ處是不連續的，邊緣信息保留較好但去噪效果不佳；而在軟閾值方法中，雖然整體連續性好，去噪效果明顯，但與w 之間總存在著恒定的偏差，邊緣損失較大，影響了重構精度。由于軟閾值函數在w ≥λ時的作用相當于對小波系數進行加權處理，以達到光滑圖像的目的，所以把這種偏差減小到零未必最好，關鍵要使-w 盡可能小，并且軟閾值函數的導數不連續，而在實際應用中經常要對一階導數甚至是高階導數進行運算處理，所以它具有一定的局限性。為了克服軟硬閾值方法的缺點，這里構造了調節閾值函數：

=w 1- ?搖，w ?搖≥λ 0 ?搖?搖?搖?搖?搖，w ?搖＜λ(1)

其中n為任意正常數。

調節閾值函數是介于軟硬函數之間的一個靈活選擇，可以通過變化n的取值，得到實用有效的閾值函數，既能有效地去噪又能很好地保留邊界信息。

3 維納濾波

從含噪信號f輸入到估計值 輸出，可以寫成

=W HWf(4)

濾波器H被定義為:在小波變換域上完成一個對角濾波過程，即

其中，h(i)就是“硬閾值化”或“軟閾值化”的具體實現。

對于維納濾波器，令s通過濾波器G所得到的估計值 =Gs；當G就是維納濾波時，可使均方誤差(MSE)最小。

維納濾波器定義為:

其中R =E(ss )，為N×N矩陣;I是單位矩陣，σ 是噪聲信號的方差。

在小波變換域上對角化的維納濾波器系數為:

式中，θ（i）是觀測值的最好估計值。

4 調節閾值與維納濾波相結合

4.1 真實信號θ（i）的估計

在小波域上，根據(7)式設計維納濾波器為:

可見h (i)涉及真實信號θ (i)的估計和噪聲方差σ 的估計。在小波變換域，θ(i)是真實信號的小波系數， (i)是真實信號小波系數的估計值。

由(7)式，當θ (i)＞σ 時，h (i)≈1，即h (i)相當于硬閾值法的權重系數;當θ (i)≤σ 時，h (i)≤ 并且h (i)隨著θ (i)的減小而減小。因此對于維納濾波的均方誤差:

當時θ (i)=0，第i個信號分量的變換對MSE 無貢獻，當θ (i)→∞時，則產生最大的誤差分量，相當于硬閾值量化。

考慮到調節閾值函數有效去噪的能力以及能夠較好保留邊界信息，因此我們可以用它對原始信號進行過濾，從而得到后面維納濾波所需要的小波系數估計值。

令N 為使(10)式成立的真實小波系數θ(i)的信號長度，它對應相對較大的小波系數;而N =N -N 為小波系數絕對值小于閾值的信號長度

在調節閾值函數中我們取n=2，閾值λ=σ ，σ為噪聲信號的偏差，N為信號長度，也就是細節信號的采樣數。根據(8)式和(10)式

化簡后得到θ(i)的估計為:

其中 = Med(｜w ｜)，w 是f(i)離散采樣后的小波系數，Med(g)為中值函數。

這里我們實際上是用調節閾值函數的方法作為對θ(i)的估計，下面通過建立雙小波基維納濾波器將該估計值運用到維納濾波中。

4.2 雙小波基維納濾波器的設計

為了實現對θ (i)的估計，并對信號f(i)進行去噪，我們設計了雙小波基的維納濾波器，其去噪流程如圖2所示:

采用兩種不同的小波基W 和W ;這里的H采用前面提到的調節閾值函數;是建立在小波變換域W 上的維納濾波器。首先在小波域W 中通過調節閾值函數H去噪，我們可以得到對真實信號s的估計，而這種估計是以N 個可信小波系數為基礎的，但是對N 個小波系數預測得并不充分;為了獲得對信號更全面的估計，我們將得到的在小波域W 再次變換得到新估計值

通過算子W W，在W 小波域延伸和擴展了估計值中N 個可信小波系數，保證在W 域內被閾值函數置零的系數在W 域內得以部分恢復，使得新估計值中具有數目更多的非零系數，降低了去噪誤差。如果兩小波基相同，就相當于前面講的調節閾值函數去噪。

在W 小波變換域上維納濾波器系數為

如何選擇W 和W 的小波基函數?一般來說，凡是適合做小波收縮的小波基都可以;常用的是雙正交緊支小波。而小波的正則性對圖像重構具有非常重要的意義，因為存在量化誤差的小波系數用正則性高的綜合小波重構后，失真

比較平滑，視覺效果好。

5 實驗結果及分析

本實驗采用Visual C++6.0語言設計，編譯生成AviSynth的VagueDenoiser。dll濾鏡，通過調用自帶的VagueDenoiser函數實現降噪目的。雙小波基維納濾波器中的W 使用 Cohen-Daubechies-Feauveau9/7小波，W 使用Villasenor-Belz er-Liao 6/10小波。

5.2 Lena圖像實驗結果分析

從圖3到圖14可以看出硬閾值方法處理后的圖像仍保留了明顯的噪聲信號;軟閾值方法處理后的圖像畫面柔合，但邊緣模糊，特別是在噪聲方差較大時已很不清晰;而調節閾值與維納濾波相結合的方法達到了較好的視覺效果;同時從表1看出改進的方法對具有不同噪聲方差的圖像處理都能夠獲得相對較高的信噪比。

6 結論與討論

本章提出了將調節閾值與維納濾波結合去噪的新方法。即在W 小波域用調節閾值函數對原始信號進行過濾，得到對真實信號的估計，并將該估計值在W 小波域進行延伸和擴展，從而構造出維納濾波器系數，原始信號經過W 在小波域上的維納濾波器過濾實現降噪的目的。實驗結果表明，該方法能獲得較好的視覺效果，降低了去噪誤差，提高了PSNR。

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注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”