從學生在高考中的失誤談起

對于成功和失敗的態度，有人說：失敗是成功之母。對于年復一年的高考來說，本人認為前一年考生的“失敗”應該成為后一年考生的“成功之母”，也就是說要善于從每年的高考中吸取經驗和教訓，以調整和警示新一輪的高考考生的學習。下面本文以2007年福建省高考數學試卷中的考生的失誤為例，談談考生存在的問題和對新一輪高考復習的啟示。

一、兩道題的典型錯誤解答及分析

例1（2007福建高考文科第17題）在△ABC中，tanA= ，tanB= 。

(Ⅰ)求角C的大小；

（Ⅱ）若△ABC最大邊的邊長為 ，求最小邊的邊長。

這道題題干簡單，出題意圖明確，綜合考查三角知識，屬于一道容易得分的簡單題。但是這道題全省文科平均分只有5.14分，滿分數與零分數之比是1.8。

這道題本來合理合情的入手方法是由tanC=tan(π-A-B)=-tan(A+B)，由兩角和正切公式求得，但是不少學生只顧著求出sinA，cosA，sinB，cosB。所以，一方面我們從錯解中可以看到過度訓練的影子；另一方面我們也從錯解中看到學生三角部分的基礎知識不扎實，表現在：①學生三角公式記錯，如出現tan(π-A-B)=tan(A+B)，sin A=1+tan A等；②學生特殊角三角函數值記錯，如tan(A+B)=1?圯A+B= ；③概念邏輯錯誤，如sinC= ?圯C= 。

例2（2007福建高考理科第20題）如圖，已知點F（1，0），直線l：x=-1，P為平面上的動點，過P作直線l的垂線，垂足為點Q，且 · = · 。

(Ⅰ)求動點P的軌跡C的方程；

(Ⅱ)過點F的直線交軌跡C于A、B兩點，交直線于點M，已知 =λ， =λ，求λ +λ 的值。

這道題綜合考查向量基本概念及其運算性質，以及簡單的軌跡與方程的思想。這道題全省理科的平均分是5.16，而且滿分數與零分數之比是1∶2，也就是說在眾多的理科考生中產生一個滿分的同時也產生了兩個零分。

錯解1：(Ⅰ)由 · = ·

得 =- ?圯| |=| |?圯動點P的軌跡是以F為焦點，l為準線的拋物線，

?圯動點P的軌跡是以F為焦點，l為準線的拋物線，

其軌跡C的方程為：y =4x

從學生的錯誤中可以看出學生對于平面向量部分知識的基礎欠扎實。從以上兩個錯誤解法中看出：一方面學生對于兩個向量的數量積與兩個實數的乘積概念混淆嚴重；另一方面學生對于向量中的運算與實數中的運算性質混淆嚴重。

從以上錯解可以看出：學生將實數中的除法、通分等運算性質應用于向量中，可見學生對向量的運算性質不理解、亂應用，同時也折射出了在教學中對有關概念的內涵剖析得還不夠，學生對概念理解不透徹。

二、對新一輪高考復習的啟示

1.夯實基礎，強調對基礎知識、基本技能的真正理解和適度訓練。

數學是一門基礎學科，它的基礎知識、基本技能常常是學習其它學科的基礎，所以高考一直非常強調考查學生對基礎知識和基本技能的理解與掌握。然而，從今年我省考生的解答情況卻可以看到有的考生犯了脫離課本，一味地進行形式化訓練的結果。

文理科17題是考查學生對三角部分的基礎知識和基本公式的運用的一道題，這道題本來入手容易、思路簡單，但是這道題的平均得分并不理想，特別是文科生平均分只有5.24分。有的學生只顧著求sinA，sinB，sinC，走上繁瑣的解題道路；有的學生公式記憶混亂，三角公式似乎記憶在心，但卻不了解哪個公式對自己的解題有幫助；有的學生公式記錯等。

理科第19題、文科第20題、理科22題都是考查導數的應用的題目，但從學生的解答可以看出學生對導函數的意義不明確，不少學生在求出導函數值為零的點后，馬上得出該點為函數的極點的錯誤結論。

文科第21題考查了學生對數列概念的理解，雖然這種類型的題目在復習訓練題中多如牛毛，但是該題在全省的平均得分只有2.91分。不少學生在解答中只考慮到由a =s -s ?圯 =3，但卻沒有考慮項數n的條件，結果得出數列是等比數列的錯誤結論。

理科第22題第1小題中有學生得出如(e )′=ex，e -e=e 等的錯誤結論。

2.注意解題的規范性。

古文中有曰：言之無文，行而不遠。正如在高考改卷中常聽到改卷教師發出“要給分數心不安，不給分數心不甘”諸如此類的感嘆，這些感嘆都起源于考生對解題規范性的漠視。

今年文理科從第17題開始每題都有兩個或兩個以上的小題，有的考生解題不寫序號造成失分。如在文理科第17題中，有的考生先求sinA，sinB，sinC似乎是在為了求第2小題做準備，然而由于在解題中沒有規范，從而造成思維混亂，沒有頭緒，造成失分。

在文科第19題與理科第18題的立體幾何題中，不少考生建立坐標系不規范，有的學生因為建立的坐標系是左手系而被扣分，還有的考生因為建立的坐標系根本沒有互相垂直而導致整題零分。

在對文科第20題第2小題的解答中，有的考生在對不等式進行恒等變形的過程中沒有對等價性進行說明，結果造成錯誤，如h(t)＜-2t+m對t∈(0，2)恒成立?圳h(t)+2t-m＜0；還有的考生雖然知道用導數求函數最值的方法，但是卻因為沒有使用規范性語言引起失分。

3.注意數學思維的培養，特別是對易于出現概念混淆或邏輯錯誤的地方應多加分析和進行類比思考。

隨著學習的深入，知識積累的增多，各部分知識之間的聯系日益密切，在知識的交匯處最能多方面、多層次地考查學生的知識與能力，所以在高三復習階段應該特別重視知識之間的整合，數學思維的培養，如函數與方程的思想，數形結合的思想，分類討論與整體處理的思想，化歸和轉化的思想，歸納、猜想、論證的思想方法;有限與無限逼近的思想方法等。

從文科第18題考生的解答中可以看出有的考生對和事件與積事件這兩類事件的基本概念理解不到位，產生概念之間的混淆：第1小題在求“甲第三次才成功”事件的概率時有學生得P（A）=P（ ）+P（ ）+P（A ）這樣的錯誤結論。還有的考生對分類思想掌握不完全，如第2小題在求“甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一個人成功”的概率時，出現如P（B）=P（ B +A）這樣的錯誤。

從理科第21題中可以看到部分考生思維欠缺嚴謹，從q -pr= (p+r-2q)中構造矛盾產生錯誤，有的甚至無法構造矛盾。

4.注意考試心理調適，從容應考。

今年試卷的考試結果有不少學校的教師反映：男生較女生發揮得好些。也許有兩個方面原因造成這樣的結果：一是平時男生較女生更加注重數學思維方面的培養，數學能力方面較強，而這份試卷恰恰強調的是數學思維能力和應變能力；二是男生的考試心態較女生好，對于在解題中出現的問題能夠較快地調整自己的解題策略，不在一種方法或者一道題上套死。所以在復習訓練中應該注意培養學生健康的心理素質，樹立自信心，調整好心態，以健康平常的心理去迎接高考的洗禮。此外，在教學中我們也應該特別注意：以升學為教學的最終目的本沒有錯，但是脫離基礎的純粹應試卻會造成數學教育的嚴重流失。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”