用探究思想指導(dǎo)數(shù)學(xué)概念教學(xué)

摘要： 數(shù)學(xué)教學(xué)中，概念教學(xué)既是一個(gè)重點(diǎn)也是一個(gè)難點(diǎn)，它是搞好數(shù)學(xué)教學(xué)的基礎(chǔ)。本文就新課程標(biāo)準(zhǔn)下的數(shù)學(xué)概念教學(xué)，提出了概念教學(xué)中滲透探究思想的策略。

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)概念 探究 策略

數(shù)學(xué)概念的獲得有兩種基本形式：概念形成和概念同化。概念形成是從學(xué)生實(shí)際經(jīng)驗(yàn)的肯定例證中，以歸納的方法概括出一類事物的本質(zhì)屬性；概念同化是指利用學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，以定義的方式揭示概念的本質(zhì)屬性。概念形成主要依靠對(duì)具體事物的抽象概括；概念同化則主要依靠學(xué)生對(duì)新舊知識(shí)的聯(lián)系。開始對(duì)數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)較多的是按概念形成的方式進(jìn)行，而隨著學(xué)生知識(shí)的增多和認(rèn)知結(jié)構(gòu)的不斷發(fā)展，概念同化便逐漸成為學(xué)生獲得數(shù)學(xué)概念的主要方式。基于課改的諸多理念，在學(xué)習(xí)概念的方式上，是否可深入研究概念獲得的兩種基本形式，改為在教師創(chuàng)設(shè)的情景中、問題中去“想數(shù)學(xué)”、“做數(shù)學(xué)”，經(jīng)歷一遍探究、創(chuàng)新的過程，把探究作為一種教學(xué)方式、一種理念貫穿在數(shù)學(xué)概念教學(xué)過程的始終，讓它成為學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)，以及教師制定教學(xué)策略及實(shí)施教學(xué)過程的指導(dǎo)思想，應(yīng)該說是符合數(shù)學(xué)教學(xué)改革的需要，也是改變傳統(tǒng)教學(xué)的有效方式。

1.概念引入階段的探究

1.1概念引入階段探究的重要性。

引入概念是教學(xué)的第一步，也是形成概念的基礎(chǔ)。學(xué)生在學(xué)習(xí)某一數(shù)學(xué)概念之前，在日常學(xué)習(xí)生活中對(duì)一些數(shù)學(xué)現(xiàn)象和問題所形成的看法和認(rèn)識(shí)，如已有經(jīng)驗(yàn)或題組，以及所得出的一些與科學(xué)概念不盡一致甚至錯(cuò)誤的觀念及其特殊的思維模式，這些形形色色的已有概念，指導(dǎo)或決定著學(xué)生的感知過程，并對(duì)學(xué)生解決問題的行為和思維產(chǎn)生重要影響。如果執(zhí)教者不對(duì)此問題進(jìn)行認(rèn)真考慮和分析，則很容易由于師生之間不能有效突破已有概念的誤區(qū)，使學(xué)生在學(xué)習(xí)中產(chǎn)生疑慮、排斥或機(jī)械接受等現(xiàn)象，在面臨具體問題的分析和計(jì)算時(shí)仍沿用原來錯(cuò)誤的認(rèn)知，無法有效地將正確概念建構(gòu)在自己的知識(shí)體系中。

1.2概念引入階段探究的策略。

概念的學(xué)習(xí)有一個(gè)準(zhǔn)備的過程，這就是概念的引入。

概念引入階段探究的策略1——從實(shí)際出發(fā)（教材的實(shí)際、學(xué)生的知識(shí)水平及年齡實(shí)際、生活和實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)實(shí)際等）。例如，引入“平形線”概念，可以給出學(xué)生所熟悉的實(shí)例，如鐵路上兩條筆直的鐵軌，桌子的兩個(gè)對(duì)邊等，給學(xué)生以平行線的形象，然后引導(dǎo)學(xué)生探究、分析這些事物的共同屬性，形成科學(xué)認(rèn)知，從而揭示新概念的內(nèi)涵。

概念引入階段探究的策略2——以問題法的方式。我們的很多概念，它的產(chǎn)生是有很歷史背景的，但經(jīng)過抽象之后寫在課本上，學(xué)生學(xué)起來就不知為什么需要這些概念，只是被動(dòng)學(xué)習(xí)，有很多學(xué)生到最后也只知道一個(gè)一個(gè)的知識(shí)點(diǎn)，只見樹木，不見森林，沒有對(duì)課程整體地把握。因此弄清學(xué)習(xí)此概念的必要性和重要性何在，挖掘一個(gè)概念形成過程中的諸問題，應(yīng)盡可能把知識(shí)的發(fā)生過程轉(zhuǎn)化為一系列帶有探究性的問題，真正使問題成為學(xué)生思考的對(duì)象，使概念學(xué)習(xí)變?yōu)閷W(xué)生的內(nèi)在需求。如引入導(dǎo)數(shù)的概念時(shí)，可用這樣的一系列問題進(jìn)行統(tǒng)帥：

如何求瞬時(shí)速度？（瞬時(shí)速度是原始概念，是用平均速度去逼近，是導(dǎo)數(shù)概念的力學(xué)解釋。）

為什么要研究增量？（如一個(gè)銷售經(jīng)理雖關(guān)心函數(shù)?覼（x ），但更關(guān)心在x 的基礎(chǔ)上調(diào)整價(jià)格時(shí)，市場(chǎng)的反應(yīng)如何？分析△x與相應(yīng)的△y=?覼（x +△x）-?覼（x ）的關(guān)系，而這是微積分的靈魂。）

如何用局部性質(zhì)的?覼′（x）來獲得有關(guān)整體的?覼（b）-?覼（a）呢？我們可用拉格朗日中值定理來解決這個(gè)問題，微積分的真諦也正是在于這類本原問題的思考。

概念引入階段探究的策略3——可采取討論法。以小組為單位，針對(duì)某一問題，通過大家“說數(shù)學(xué)”的方式，讓每個(gè)人都有機(jī)會(huì)在群體中表達(dá)各自的觀點(diǎn)和想法，并通過相互間的討論促使其對(duì)自身原有認(rèn)識(shí)進(jìn)行審視、反思，然后將有爭(zhēng)論的問題提交。

2.概念領(lǐng)會(huì)階段的探究

2.1探究新舊概念間的關(guān)系，確定相應(yīng)教學(xué)策略。

現(xiàn)代認(rèn)知學(xué)習(xí)理論有一個(gè)基本觀點(diǎn)，主張發(fā)展學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生的遷移能力，學(xué)生原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)總是學(xué)習(xí)新數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)。教師在制定教學(xué)策略時(shí)，首先應(yīng)通過分析、比較、辨別一類事物的具體例子，確定新概念與原認(rèn)知結(jié)構(gòu)中有關(guān)概念間的關(guān)系，擴(kuò)大或改組原認(rèn)知結(jié)構(gòu)，然后在此種類屬概念的教學(xué)中采用相應(yīng)策略對(duì)學(xué)生進(jìn)行有針對(duì)性的科學(xué)思維訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究。可通過辨別概念的正反例證，突出有關(guān)特征，排除無關(guān)特征的干擾，或者考慮如何引導(dǎo)學(xué)生找出原認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)概念，研究它的分類及其標(biāo)準(zhǔn)，探究新概念與原認(rèn)知結(jié)構(gòu)中有關(guān)概念的關(guān)系。

如“相似三角形”，是在全等三角形基礎(chǔ)上的一種相關(guān)的下位學(xué)習(xí)，這種情況下教師如何引導(dǎo)學(xué)生探究概念的本質(zhì)特征？教師先給出兩個(gè)全等三角形，并提出問題：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角之間有什么關(guān)系？再拿出兩幅大小不同的中國(guó)地圖，并提出問題：它們之間有什么關(guān)系？接著向?qū)W生展示兩對(duì)大小不同的全等三角形，讓學(xué)生觀察、分析它們之間有什么關(guān)系。最后，教師展示兩對(duì)相似三角形的硬紙片，讓學(xué)生觀察它們的形狀，并動(dòng)手測(cè)量對(duì)應(yīng)元素（邊與角），分別說明它們的關(guān)系。這樣學(xué)生從上面的問題中自己總結(jié)出概念的特征，然后得出相似三角形的定義。

2.2探究概念本質(zhì)，完善學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

從根本上說，數(shù)學(xué)的教學(xué)是教師引導(dǎo)學(xué)生探究現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系及空間形式，并不斷地揭示其內(nèi)在規(guī)律的過程，在這一過程中，教師可根據(jù)教學(xué)實(shí)際，設(shè)計(jì)有針對(duì)性的問題，以問題為線索，同時(shí)利用概念之間的關(guān)系構(gòu)建概念體系，從而使學(xué)生對(duì)這部分的概念有一個(gè)全面的認(rèn)識(shí)。如“距離”概念可得到概念體系：兩點(diǎn)間的距離→點(diǎn)到直線的距離→兩條平行線的距離→異面直線的距離→點(diǎn)到平面的距離→直線到平面的距離→兩平行平面的距離，引導(dǎo)學(xué)生探究這些距離有什么特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)共同特點(diǎn)是最短與垂直，可使學(xué)生認(rèn)識(shí)到“距離”這個(gè)概念的本質(zhì)屬性。

有些數(shù)學(xué)概念是伴隨認(rèn)知不斷發(fā)展的，不可能一次講透，教學(xué)中只要不妨礙概念的科學(xué)性和邏輯性，能突出其本質(zhì)即可。例如“導(dǎo)數(shù)”概念的學(xué)習(xí)：先從平均變化率入手，用形象直觀的“逼近”方法定義導(dǎo)數(shù)；再研究導(dǎo)數(shù)?覼′（x ）在x 附近的局部性質(zhì)，明確導(dǎo)數(shù)的幾何意義；并由導(dǎo)數(shù)再引入導(dǎo)函數(shù)；用發(fā)展、變化的觀點(diǎn)進(jìn)行導(dǎo)數(shù)概念的教學(xué)，把概念教活，使學(xué)生獲取的知識(shí)成為有機(jī)的整體，全面完成導(dǎo)數(shù)概念的教學(xué)。同時(shí)這樣從高層次上對(duì)函數(shù)作整體描述，對(duì)函數(shù)的研究經(jīng)歷了從整體到局部又回到整體的螺旋式上升過程，導(dǎo)數(shù)成為進(jìn)一步研究函數(shù)的有力工具。

3.概念應(yīng)用階段的探究

讓學(xué)生親自實(shí)踐，通過對(duì)概念的應(yīng)用即對(duì)概念外延的研究，來檢驗(yàn)是否掌握概念。特別是可通過概念的無關(guān)特征，變式地提出問題，讓學(xué)生辨析，進(jìn)而檢驗(yàn)是否真正獲得概念的意義。

例如對(duì)周期函數(shù)概念的教學(xué)，首先可讓學(xué)生嘗試用定義求（證明）周期函數(shù)的周期，看是否掌握概念；另需注意學(xué)生是在掌握了正、余弦函數(shù)圖像的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)周期函數(shù)概念的，會(huì)把正、余弦函數(shù)圖像重復(fù)出現(xiàn)的偶有屬性遷移到周期函數(shù)概念上來，易把函數(shù)值的重復(fù)出現(xiàn)與函數(shù)圖像的重復(fù)出現(xiàn)混同起來。為了澄清概念，可提出這樣的問題供學(xué)生探究：?jiǎn)栴}1：圖像重復(fù)出現(xiàn)的函數(shù)一定是周期函數(shù)嗎？問題2：周期函數(shù)的圖像一定是重復(fù)出現(xiàn)的嗎？經(jīng)過探究、討論，他們認(rèn)識(shí)到函數(shù)圖像的重復(fù)出現(xiàn)是某些周期函數(shù)的偶有屬性，它是周期函數(shù)的無關(guān)特征，并可舉反例說明。如函數(shù)y=x-［x］（x∈［-2，2］）的圖像重復(fù)出現(xiàn)，但此函數(shù)不是周期函數(shù)，回答了問題1；有如函數(shù)?覼（x）= ，x∈X，X= -n，-n+ ?搖U（n-1），（n-1）+ ?搖對(duì)于任意x∈X，總有?覼（x+1）=?覼（x）= ，所以該函數(shù)是周期T=1的周期函數(shù)且它的函數(shù)值按照一定規(guī)律重復(fù)出現(xiàn)，但它的圖像并不重復(fù)出現(xiàn)，回答了問題2。

由此可知，函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)與函數(shù)圖像重復(fù)出現(xiàn)不能等同，圖像重復(fù)出現(xiàn)對(duì)周期函數(shù)來說，既非充分又非必要條件，只有函數(shù)值為非常數(shù)值的周期函數(shù)，它的圖像具有這樣的特征；而函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)是周期函數(shù)的必要條件但不是充分的條件?？梢姼拍罱虒W(xué)還應(yīng)在鞏固階段通過采取一定的探究方式和措施，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中產(chǎn)生的問題和存在的誤區(qū)，在清楚了解學(xué)生的問題之后，通過正反例對(duì)比等方式深刻理解概念。

綜上所述，在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，教師應(yīng)根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，盡可能用探究的方式教學(xué)生學(xué)習(xí)概念、理解概念，使學(xué)生學(xué)會(huì)用探究的方式進(jìn)行學(xué)習(xí)，養(yǎng)成主動(dòng)探究學(xué)習(xí)，善于積極思考的思維習(xí)慣。

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注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。”