高職高等數學教學例談

摘要： 高等數學既難學，更難教。本文結合高職教育特點，探討了高職高等數學的教學方法，提出了“創設情境、結合史實、引入實例、設疑精講”等教學方法。

關鍵詞： 高等數學 概念 教學法

高等數學是高職院校多數專業的重要基礎理論課之一，其教學質量的好壞將直接影響人才培養的目標能否達成，特別是現階段我國高等教育工作重心轉向更加注重提高教育質量上來，各高校也越來越重視基礎課程的教學質量。在高職高等數學現行教材的基礎下，要提高教學質量，其有效途徑就是改進教學方法與教學手段。筆者結合多年的教學實踐就課堂教學方面談一點體會，以供探討。

一、創設情境，結合史實

高職高等數學課程一般在一年級開設，其教學內容主要是微積分，由于高等數學具有高度的抽象性和嚴密的邏輯性，再加上學生的思維大多還停留在中學階段，所以學生一開始會很不適應，容易產生畏難情緒。因此，高等數學的教學開頭很重要，尤其對極限概念的教學要多做探討，多下工夫。

極限概念是微積分學的重要基礎，微積分中很多理論的形成與發展都應用了極限的思想和方法，同時極限概念的教學又是高等數學教學中的一個難點。那么在課堂教學中如何上好極限概念這一環節呢？本人結合實踐，采取“創設情境，結合史實”的方法，收到了很好的效果。具體是這樣的，開篇不以通過觀察幾個數列的趨勢概括出極限的描述性定義，更不是直接提出極限的嚴格的、形式化語言的“ε-N”或“ε-δ”定義，而是通過經典的悖論，比如芝諾悖論之二的阿基里斯追趕不上比他先跑一段距離的烏龜，又或者用我們更熟悉的“龜兔賽跑”的故事，當然在這里講的是兔子追不上烏龜，這個追趕的過程可以用課件演示，也可以用板書刻畫，因為整個追趕過程追趕者必須跑到被追者的出發點，而當他到達被追者的出發點時，又有新的出發點在等著他，所以就會給人追趕不上的錯覺。在整個演示過程中引起了學生激烈爭論，甚至有些學生認可了這個悖論。當然，還有部分學生其思維形式還停留在初等數學階段，利用初等數學方法算出追趕所花時間t= （這里設初始距離為d，追趕者速度為v ，被追者速度為v ，顯然v >v ）， 這其實有個前提，那就是假設已經追上了，所以還是解決不了“是否能”追上這個問題，這樣連這部分學生也陷入了沉思中，如此課堂效果就出來了，學生就急于想知道問題該怎么解決，通過什么方法來解決，這樣就調動了學生學習數學的積極性、主動性，使學生對學習極限概念產生濃厚的興趣。根據前面假設，可選擇地構造出兩個有背景的數列，比如：d， ，d（ ） ，…，d（ ） ，…（這是追趕者與被追者間距離數列）、 ， ， ，…， ，…（追趕者每一階段所用時間數列），再配合直觀形象的圖示法或觀察法，可以看出當n無限增大時，上述兩個數列的一般項的值是越來越小，不妨用具體的值代替v 和v ，這樣更容易說明，如果再對上面兩等比數列求和就可以得出結論，追趕的距離是有限的，追趕的時間也是有限的，這樣大體上就解決了芝諾的阿基里斯悖論，當然更深層次的討論這里不再進行。到此為止教師可順理成章地引入極限思想和極限概念。

創設情境，在情境中提出問題能激發學生的好奇心，而好奇心是產生興趣的先導，因此在課堂教學中要多創設情境引導學生主動探索。此外，筆者還簡要介紹了極限發展的歷史，常見的例子如《莊子#8226;天下篇》中提出的“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”和中國古代數學家劉徽的“割圓術”等，通過平均速度求瞬時速度、割線斜率求切線的斜率這些思想也可以放在這里簡單介紹，這樣學生不僅能夠理解“無窮逼近”的思想，掌握極限概念，而且認識到數學的概念也是有血有肉具有豐富內容的，這些對于提高學生學習數學的興趣是很有幫助的。

總之，極限概念在高等數學中是非常重要的，關于其教學方法也是多種多樣的，具體到嚴格的、形式化的定義，許多作者做過詳細討論，雖然對高職學生極限的嚴格定義大都不做要求，但是經過前面的充分準備，要使我們的學生掌握“ε-N”和“ε-δ”定義其實不難，這里就不再討論了。

二、通過實例，講清本質

在數學教學中適當融入實例教學，可以使本來生硬的、難懂的數學概念生動起來，易于理解和掌握，使課堂教學達到事半功倍的效果。例如，高等數學開篇函數部分講到復合函數定義，我們的教材通常采用定量性的、形式化的語言進行描述，既要講清對應關系，還要講到內層函數的值域與外層函數的定義域，不僅定義很長，符號也一大堆，我們的學生看到這樣的定義能不頭痛嗎？因此筆者借鑒了如下實例：如果石油從一艘油輪中泄出，那么，泄出的石油表面積將隨時間的增加不斷擴大。假定油面始終保持圓形（事實上并非如此）。油的表面積是半徑的函數A=f(r)=πr ，半徑也是時間的函數，因為半徑是隨油的不斷泄出而增加的。因此，作為半徑函數的油面積也是時間的函數，如果半徑函數是r=g(t)=1+t，那么，油的表面積可表示成A=πr =π（1+t） ，是時間的函數。我們就說A是一個復合函數，或是一個“函數的函數”，記作A=f(g(t))=π(g(t)) =π（1+t） 。

這樣通過實例進行定性描述解釋復合函數為“函數的函數”不僅易于理解，也不失概念的本質。然后結合例題和練習分析復合函數的定義域與復合過程加以鞏固加深，再講明復合函數與函數四則運算的區別。實踐證明，這樣的教學適合高職數學教學。

三、從易到難，循序漸進

定積分是積分學的一個重要問題，它主要解決一類“和數極限”的計算問題。定義敘述較長，包含的思想方法較多，不易理解，因此在高等數學教學中定積分概念是個難點。同時，定積分及其方法是解決實際問題的有力工具，所以它又是一個重點概念。上好定積分概念，應先從規則的幾何圖形入手，如矩形、三角形、梯形等復習它們的求解方法，再給出曲邊梯形，讓學生思考該怎么求這類圖形面積，進而敘述求曲邊梯形面積的具體步驟：“分割、代替、求和、求極限”。這里要講清楚兩個“任意”即任意分割、任意取點，對于取極限必須講清楚最大子區間“λ→0”與子區間數n的關系，在連續曲線下，有些特殊分割如等分，“λ→0”與子區間數“n→∞”是等價的，再配合特殊取點，這樣就可以將極限f(ξ )△x 轉化成求“n→∞”的某個和式極限。

定義闡述之后，學生對這種求曲邊梯形面積的思想和方法尚存疑問，這種方法是否可行？所求的面積與實際是否相符？筆者通過簡單的例題，如：求函數y=x在區間［0，1］上的定積分，圖像上它是一個直角邊為1的等腰直角三角形，面積為 ，即此定積分為 。然后介紹采取積分定義的求法：將［0，1］區間n等分，得：△x = ，λ=max{△x }= (i=1，2，…，n)，取特殊點ξ = (i=1，2，…，n)，此時，“λ→0”與“n→∞”等價，則：f(ξ )△x =f( ) = == ，與實際相符，說明“無限分割、取近似值、求和、求極限”的這種方法求面積是可行的。疑慮消除了，緊接著就是探討某些曲邊梯形面積的具體求解過程，如：利用定義計算定積分?蘩x dx，進行對概念的加深和鞏固，對具體操作過程的熟悉與掌握。這樣由易到難、循序漸進講授定積分概念是比較容易讓學生接受的，課堂教學也是比較成功的。

當學生理解了定積分的定義后，重點要放在詳細介紹定積分的思想與方法的具體應用，比如求面積、體積、變速直線運動的路程及連續曲線的弧長等。此外，我們的教材在應用方面的內容比較欠缺，這一點需要改進，應配置些針對學生專業的、生產實踐中應用到數學方法的例題或案例。

四、典型例題，設疑精講

在現行的高職高等數學教材中，單純計算類型的習題比較多。關于積分部分的計算問題，對于高職學生一般要求掌握一些基本的運算公式和常見的運算技巧，重點是對換元積分法的介紹，其它類型的積分計算強調能夠通過查積分表所得就行了。另外實際教學中發現學生對各種導數的運算掌握得比較好，只是在隱函數求導上會遇到困難，而對于極限部分的運算，由于類型較多，變化無窮，技巧性要求比較高，所以有些學生對極限的運算掌握得不是很好。

極限運算難學，主要在于其運算的法則多，尤其不定式極限、兩個重要極限、無窮小等價替換、泰勒展開式等的應用，需要細致分析、認真審核各種方法的條件是否成立。課堂教學中應結合一些典型的例題，進行精心講解，通過比較與分析，進而讓學生掌握求極限的常用方法?，F給出一例進行討論分析：

例：求極限 xsin 。

解法一：利用重要極限， xsin ==1。

解法二：利用乘法法則， xsin = x sin =0。

解法三：利用等價無窮小替換， xsin = x =1（sin ~ ）。

解法四：利用無窮小性質，因為x是x→0時的無窮小量，而sin (x≠0)是有界函數，所以根據無窮小性質，xsin 是x→0時的無窮小量，故， xsin =0。

在課堂上可以讓學生先討論，然后進行分析如下：

本題正確解法是根據無窮小性質的有界函數與無窮小的乘積仍是無窮小，即解法四正確。因為當x→0時， →∞，第一重要極限要求這里的 要趨向于0，所以解法一不正確，同樣，解法三前提是sin 為無窮小量，而這里sin 和 都不是x→0時的無窮小量。解法二的錯誤在于極限 sin 不存在，故不能用乘法法則。通過幾種方法的比較分析，不僅傳授了無窮小量的性質，還對求極限的其它方法進行了復習鞏固，告訴學生求極限時有些式子是形似而神不似，所以在方法應用時要認真審核條件是否符合。

一個簡單、基本的例題如果處理得好，同樣能夠發揮較大的功效。本例要是直接給出解法四，那么課堂教學效果就沒這么明顯。因此，在教學中要充分發揮典型例題的作用，盡量做到少講精講。

五、結語

要上好高職高等數學并不是一件容易的事，需要大家共同探討，積極探索適合高職教育特點的科學的教學方法和手段，使高等數學真正起到基礎性學科的作用。

參考文獻：

［1］孔亞仙.應用高等數學［M］.杭州:浙江科學技術出版社，2005.9.

［2］李廣全.美國教材《微積分》給我們的啟示［J］.天津職業院校聯合學報，2006，8(5)：135-139.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”