中學數學的多維教學與思維培養

摘要： 數學是思維的體操，培養學生的數學思維品質貫穿數學教學的全過程。本文力圖通過對數學課堂教學實踐的多維呈現，指出培養學生思維品質的多種有效途徑，為當前的數學教學提供了可資借鑒的經驗和思考。

關鍵詞： 中學數學 多維教學 思維培養

數學思維能力的提高關鍵在于數學思維品質的培養。學生的數學素質實質上就是學生的數學思維能力，要培養學生的思維能力，必須突出學生思維品質的培養。下面本人結合具體的教學實踐談點認識和體會。

一、充分發揮學生主體作用，培養思維的批判性和獨創性

學生的主體作用是讓學生自己通過練習來鞏固基礎知識，進一步總結知識間的聯系，使之系統化。在教學中要讓學生有充分的時間理解概念和命題，鼓勵他們互相討論、自由發言、各抒己見，不盲從，敢懷疑，變被動學為主動聽，從而激發思維的積極性。如在學習“三角形”這一章時，我讓學生根據三角形的定義“由三條線首尾順次連結所組成的圖形”，畫出三角形的形狀。結果學生都無一例外地畫出了三角形的圖形來。我又讓學生仔細推敲定義，根據定義畫出線段A—C—B，豈不也為三角形（由線段AB、BC、CA順次連結而成）？于是在批判否定之后，自然得出“由不在同一直線上的三條線段首尾順次連結而成的圖形叫三角形”這一概念，并得出“三角形兩邊之和大于第三邊”這一定理來。

又如學生在證明“連結空間四面體ABCD四邊中點四邊形EFGH是平形四邊形”這一例題時（如圖），我問學生：如果E、F、G、H不是四邊中點，四邊形EFGH還會是平行四邊形嗎？學生就由平行四邊形的定義判定，積極地思考起來，發現結果是可能會是平行四邊形，隨后在教師的引導下得出：若四邊形EFGH的一組對邊與空間四邊形ABCD的一條對角線平行且比值相等即為平行四邊形。此時，我又問學生，若四邊形EFGH的一組對邊與空間四邊形ABCD的一條對角線只平行而比值不等時是什么圖形？學生略加思考就答出是梯形。緊接著就引導學生觀察空間四邊形ABCD的對角線是異面的，而且夾角即為所得平行四邊形EFGH鄰邊所夾的角。同時又向學生提出：在什么條件下平行四邊形是矩形、菱形、正方形？學生在認真思考后得出如下結論：（1）四邊形EFGH的一組對邊與一條對角線平行而比值不等時為梯形。（2）四邊形EFGH的一組對邊與一條對角線平行且比值相等時是平行四邊形。其中，當空間四邊形ABCD的對角線垂直時，平行四邊形EFGH為矩形；當空間四邊形ABCD的對角線相等時，平行四邊形EFGH為菱形；當空間四邊形ABCD的對角線垂直相等時，四邊形EFGH是正方形。通過簡短的導語，把學生引入主體思考的探索新知識境地，從而提高了思維的創造性。

二、充分發揮教師的主導作用，培養思維的敏捷性和靈活性

教師的主導作用，是引導學生總結知識、分析問題、強化直覺思維、求異思維等思維訓練，使他們能夠用正確的思維方式迅速找到解題的途徑。

例1：已知a 、a 、……a 是n個正數，且滿足a #8226;a ……a =1，求證：（2+ a ）（2+ a ）……（2+a ）≥3。

析與解：從特征數字“3”這個“直覺點”得到啟示，可將不等式左邊的每一個因式湊成三項，于是想到把“2”變為“1+1”利用三項的均值不等式即可得證。

例2：已知方程ax -2（a-3）x+a-2=0中，a為負整數，試求使方程至少有一個整數解時a的值。

析與解：以x為主元求根，必須對a進行討論，勢必繁瑣。若變更主元，將方程變為（x -2x+1）a=2-6x，顯然x≠1，故有a=（2-6x）/（x -2x+1）。要使a為負整數，由（1）知必有2-6x＜0，|x -2x+1|≤|2-6x|，解得4- ≤x≤4+ ，且 x≠1。故x的允許值為：2，3，4，5，6，7。逐一試驗知，使a負整數的x僅有2，3。此時，相應的A值為-10，-4。

三、充分利用習題的輻射作用，培養思維的廣闊性和深刻性

對于一道習題，教師一方面要引導學生多角度探求其解法，訓練發散思維，培養思維的廣闊性；另一方面要引導學生總結解這道題的典型方法與技巧并用于解同類問題中，使學生深刻領會，牢固掌握其方法的實質，這有利于培養思維的深刻性。

例3：已知x +4(y-1) =4，求x +y 的最值。

解法1：把二元問題化為一元問題。

由x +4(y-1) =4得x =4-4(y-1) ≥0

所以0≤y≤2

把x 代入U=x +y 可得最值。

解法2：由已知注意到條件x /4+（y-1）=1，用三角代換可將二元函數化為三角函數。

令x=2cosa，y=1+sina（a為參數）從而求得最值。

解法3：由U=x +y 得x =U-y 代入x +4(y-1) =4

兩曲線相切的充要條件是方程有相等的實根，于是由△y=64-12U=0可得最值。

在解決數學問題的過程中，人們常常習慣于正面應用定義、定理和法則來入手思考、分析，但有時會遇到從正面考慮不易解決的情況。這時若從問題的輻射面，如橫向、逆向、縱向等方面去考慮，從多角度觀察探討，則往往會開拓出廣闊而又深刻的思維天地來。

例4：求證：分別和兩條異面直線AB、CD同時相交的兩條直線AC、BD一定是異面直線。（如圖2）

分析：由異面直線的定義，學生自然會想到若能判定直線AC、BD不同在任一個平面內，無公共點即可。顯然從正面來說明兩條直線異面很難，甚至不可能。此時引導學生從空間中兩線的三種位置關系入手可得到兩條直線既不相交又不平行便是異面。那么怎樣說明直線AC、BD不相交也不平行呢？由此就有了用反證法的思想。

證明：假設直線AC∥BD或AC∩BD

則兩種位置關系均可確定一個面，

即A、B、C、D四點共面。

由公理1可知直線AC、BD共面這與已知矛盾，從而原例得證。

在立體幾何中這種方法時常會用到。

總之，數學是思維的體操，培養學生的數學思維品質貫穿數學教學的全過程。我在幾年來的教學實踐中堅持不懈地嘗試著，結果使基礎程度不同的學生的數學思維能力均有明顯提高，數學成績總是在同年級平行班中名列前茅。因此，我認為在數學教學中，教師只要多方施法，相機誘導，一定能使課堂教學成為培養學生數學思維品質的良田沃土。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文?！?/p>