《高等代數》教學研究與探討

摘要： 本文闡述了《高等代數》課程的主要特點，針對該課程的特點提出了加強課程教學的建議及設想。

關鍵詞： 具體與抽象 特殊與一般 代數結構 素質

1.《高等代數》課程的主要特點

《高等代數》作為高等院校數學與應用數學、信息與計算科學等專業的基礎課，它所體現的幾何觀念與代數方法之間的聯系，從具體概念抽象出來的公理化方法，以及嚴謹的邏輯推證、巧妙的歸納綜合等，對于強化人們的數學訓練，增益科學智能都是非常有用的。

不僅如此，該學科奇峰突起，更好地體現了辯證思維的基本方法及思想，幾對矛盾在這門學科中的體現更為尖銳突出。

1.1 具體與抽象。根據辯證思維中具體與抽象的基本思想，《高等代數》運用所謂公理化的研究方法，把數學對象歸類，從不同質的具體事物或過程中抽取共同的量的關系，作為最基本的公理、性質（定義）。再從基本的公理、性質出發，采用統一的觀點與方法，進行演繹推理等等，揭示和研究其新的性質。如向量空間和代數運算這兩個概念，就是從大量的具體的實例中抽象出來的。

1.2 特殊與一般。根據辯證思維的基本方法，就我們研究問題來說，或者說就我們的認識來看，總是由認識個別和特殊的事物，逐步地擴大到認識一般的事物。在《高等代數》中，如二次型的理論起源于解析幾何中化二次曲線和二次曲面的方程為標準形的問題。在二次型的研究方法中，就體現了解析幾何中二次曲線、二次曲面化標準形的一些直觀的思想，并將它移植到更一般的n維抽象空間上去。再如考察了二、三階行列式的結構規律后，提出一般的n階行列式的定義，等等。

1.3 有限與無限。由辯證法的原理，要真正把握空間、時間的無限性，不能只靠經驗事實，必須運用辯證思維方法，從有限的空間、時間中，去發現和掌握空間、時間的無限性．在《高等代數》中，只有掌握了有限集，才能認識和理解無限集；只有掌握了有限維向量空間，才能更好地認識和把握無限維向量空間；有限群與無限群也如此，等等。

1.4 計算與論證。這對矛盾體現了辯證思維基本方法中的分析與綜合。在《高等代數》中，如比較分析、結構分析、分類分析、歸納分析、降階思想等。計算是按一定公式、法則（定義）機械地進行的，學生容易學會。但其計算方法之好壞，具有很強的技巧性。如行列式求值、矩陣的初等變換等，法則雖然只有幾條，運用之妙，卻存乎一心。探索一個論證要不斷地進行分析綜合，學生常感頭痛，容易出錯。《高等代數》中大量需要論證，而且要用剛學過的比較抽象的概念和性質。如線性相關與線性無關，定義并不復雜，若不進行分析綜合，就難以掌握和運用。

1.5 局整關系。即局部與整體的關系。在《高等代數》中，如子集（或元素）與集合的關系，子代數系與代數系的關系，子空間與向量空間的關系，子群與群的關系，等等。

綜上所述，《高等代數》課程除具有高等數學的共性之外，其“個性”比較鮮明。因此，該課程有利于培養抽象思維、邏輯推理及運算能力，有利于訓練抽象的、嚴格的代數方法，有助于認識和理解具體與抽象、特殊與一般、有限與無限等辯證關系。

2.針對《高等代數》的特點，加強課程教學的建議

2.1 重視教材體系，掌握全局和局部的關系。《高等代數》現行教材在體系上安排不盡相同，但萬變不離其宗，不管是按哪個體系去歸納問題、安排內容，就線性代數部分來說始終是圍繞兩條主線（好比鐵路的兩條鋼軌）去解決問題的。一條是向量空間及其上的線性變換的概念和理論，另一條是矩陣的理論。而這兩方面之間有一個聯系的橋梁，這個橋梁就是“基”。在選定一個基后，線性變換和矩陣之間就建立了一一對應的關系。這樣就把兩者之間的研究統一起來了，它們之間相輔相成。

線性代數部分是在向量空間中研究線性變換，向量空間就是一個最基本的概念，而線性變換則是向量空間中元素間的一種最基本的聯系。線性變換的數量表示是矩陣，從而矩陣是線性代數中最重要的部分。行列式是研究線性方程組的工具之一，而線性方程組是線性代數研究對象的具體模型。抓住了這些，整個線索就更清楚而具體了，從而局部和全局的關系就更容易理解和掌握了。

因此，教學中應當先把教材體系搞清楚，注意教材體系安排中所體現的知識的發展與知識的由淺入深，循序漸進，采取適合的教學途徑，讓學生透過現象，抓住實質性的聯系，以創造的精神來進行學習。

2.2 攻克“抽象化”，培養人的毅力及嚴格的科學態度，訓練嚴謹的抽象思維。凡概念均經過抽象，只是程度不同而已。在教學中，對付的辦法首先是具體化。如向量空間與線性變換這兩個概念，教材中已有大量例子，自己再想一些實例，認識就更深入了。很多概念都具有其具體的幾何背景（有不少是從二、三維空間中“借來”的），這就給人以馳騁想象和“按圖索驥”的機會。

其次，概念都有嚴格的定義，要弄清概念，關鍵在于吃透對定義的確切的敘述。一個概念，經常是形似質不同。如行列式與矩陣，外形差不多，但有本質區別。要掌握一個概念，還必須弄清它的反面應怎樣敘述和理解，如線性相關與線性無關，只知一面并非真知。

最后，檢驗是否正確掌握概念的標準是應用。即用抽象過的概念和理論來解決具體問題，哪怕是很簡單的問題。如零向量單獨構成向量空間嗎？缺了零向量能形成向量空間嗎？等等。懂得應用，善于應用，與學好《高等代數》理論是互相促進的。

一般的教材，常常是從具體到抽象來安排的，對抽象的概念又常給予比較具體的表現形式。如借助基底、坐標來表示向量，用矩陣表示線性變換等等。

在教學中，如能很好地處理上述關系，既能增長知識和方法，又能培養堅韌的毅力和嚴格的科學態度，更能鍛煉人的抽象思維，提高人的數學素質。

2.3 占領“一般性”，提高人的邏輯思維及演繹推理能力。由特殊到一般，是認識的普遍規律，數學中由特殊到一般的發展，是人類對不同領域的數和形的認識的深化和發展，仍然是現實的數量關系與空間形式的反映。如n維向量，是為了描述具有n個自由度的物理系統的狀態而引入的。

《高等代數》中的由特殊到一般，對概念來說，是由若干特殊情況，通過不完全歸納法而得出一般性定義的。對法則、公式、定理來說，則用完全歸納法得到證明。如范得蒙行列式的計算等。

《高等代數》中的由一般到特殊，對概念來說，是增加限制條件，如由矩陣到方陣。對法則、公式、定理來說，則用演繹推理而得到。這些做法應使學生心領神會。

一般性，也即共性、整體性。如矩陣比行列式用途廣泛，因為它是從一般線性方程組引出的。有了矩陣，對問題的論述更簡明，更容易揭露問題的本質與整體。如基礎解系，是全部解的核心，抓住它就可掌握全部解。因此，一般性具有重要的地位。

由特殊到一般，是一種推廣、拓廣。如n維歐氏空間，關鍵在于定義了內積，從而具有度量性質，而不在于維數高而已。又如n維向量空間的結構，是n元齊次線性方程組解的結構的推廣。

一般性寓于特殊性乏中，對于一般性的討論和結論，都適用于特殊情形。如復數域C、實數域R、有理數域Q被稱為特殊數域，是相對于一般數域Ｆ而言的。而對于一元多項式環F［Ｘ］所作的討論和有關結論，都適用于C_［Ｘ］、R_［Ｘ］、Q_［Ｘ］。

總之，在教學中，如果能更好地體現特殊與一般，著眼于實質，就有利于提高邏輯思維及演繹推理能力，有益于培養人的歸納方法及技巧。

3.加強代數結構思想的教學，培養人的數學素質

在今天的數學中，布爾巴基學派認為抽象集合上的基本結構有三種，即序結構、代數結構、拓撲結構，統稱為“母結構”。每一特殊結構自然地依附于某一集合E，這個集合起著對應結構理論中個體元素域的作用。

從集合論和公理化方法出發，布爾巴基學派用新的“結構”思想豐富了數學科學，使“結構”本身成為數學研究的對象，為數學領域向更高水平的抽象和概括提供了有利條件。代數結構是從四則運算中抽象概括出來的。所謂代數結構，就是集合E上定義若干個運算，一個n元運算相當于在Ｅⁿ⁺¹=ExEx…xE(共n+1個E)上給出一個子集Ｍ，滿足

（1）x_i∈E(i≤n)，x_n+1∈E，使（x₁，x₂，x₃…x_n+1）∈M。即E中任意n個元素經過該運算后，其結果仍是E中的一個元素。

（2）若（x₁，x₂，…x_n，x_n+1）∈M，(x₁，x₂，…x_n， ) ∈M，則有x 。即E中任意n個元素經該運算后，其結果是唯一的。

上述的運算稱為集合Ｅ的 “內運算”。如《高等代數》中的群、環、域等概念，就是具有這種“內運算”的代數結構。

設Ｓ為另一個集合，與“內運算”相仿，可在Ｓ和Ｅ之間定義一個“外運算”，用“o”表示。即對于任何a∈S，任何x∈E，存在唯一的y∈E，使aox=y。“外運算”是向量的數乘運算的推廣，在定義抽象的向量空間時，就必須引入這種“外運算”。

在任何一個母結構中加進一條或幾條補充公理，就得到一些新的結構，它們稱為子結構。在《高等代數》中，子代數、子空間的地位顯得更為重要。

在教學中，必須加強訓練代數結構思想，培養人的數學素質。

4.《高等代數》教學中要注重于人的素質的提高，樹立正確的世界觀

人的素質表現在許多方面，如知識、能力、思想、習慣、觀念、意志、興趣、愛好等都是素質的組成部分。人的素質的提高，可以表現在不同的方面，數學教育在提高人的素質方面的作用，必須通過數學教學活動來進行，在教學過程中循序漸進地實現數學教育的功能。

單純學習數學知識和運用這些知識于實際之中，只能從最低層次上體現出數學教學的價值；發展人的數學能力，從較高層次上體現了數學教學對人的素質的提高；發展人的精神品格，則從最高層次上體現了數學教學對人的素質的提高的巨大功能。為了促進人的精神品格的發展，數學教學就應該促使人的世界觀和方法論的轉變，促使人的思維方式與觀念的變化。

從數學的整體結構上來認識數學，這就要求我們進一步重視數學觀念的教學。數學觀念本身就是世界觀、方法論的組成因素，數學觀念對于數學思維活動具有重大影響，它是聯系知識與能力，實現從知識向能力轉化的中介。因此，數學教學中應該體現出數學觀念的培養，從而逐步幫助學生樹立正確的世界觀與方法論。

總之，《高等代數》的教學，應該從上述諸方面著手，著眼于人的素質的提高，并且結合學校的培養目標，體現出數學教育的功能。

參考文獻：

［1］北京大學數學系.高等代數［M］.北京：高等教育出版社，1997.

［2］張禾瑞，郝炳新.高等代數［M］.北京：高等教育出版社，1999.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”