量子力學教學探討

摘要：在量子力學教學中，注意合理安排教學過程，把握量子力學教學的基本框架，重視基本概念的教學，提出把態疊加原理和本征函數系的正交歸一性作為教學主線，指出在量子力學教學中要重視力學量用線性厄米算符表示的思想。

關鍵詞：教學過程；基本框架；基本概念；態疊加原理；正交歸一性

量子力學的對象是難以直接感知的微觀客體，而它的運動、變化規律又如此地與我們所熟悉的常識相悖。如何使學生順利地、自然地了解它、接受它，認識到‘微觀世界中客體的運動理當如此’，那是一件非常困難的事。本文介紹筆者在量子力學教學過程中運用的一些措施和方法，以求拋磚引玉。

一、 從學生實際出發，合理安排教學過程的三階段

第一階段是學生課前預習階段。以學生為主，教師的輔助作用是發給學生教學指導意見，主要包括該章節需掌握的重點難點等知識點內容，這樣能充分發揮學生學習的主動性，為第二階段中課堂教學打下基礎。

第二階段是課堂教學階段。這一階段老師為主，也充分發揮學生的輔助作用。這個階段主要是把量子力學的知識結構、應用結構和方法講授給學生，使他們對該章節內容有一個總體的認識，并且重點講授基本概念、基本理論和思考問題的方法，為第三階段中獨立完成該章的作業打下基礎。

第三階段是復習鞏固階段。每學完一章要求學生獨立完成該章作業及補充題，老師通過批改作業及時與學生交流，再根據學生的實際水平適當輔導答疑。量子力學給出了一套全新的思維模式和解決問題的方法，為了完成從經典理論到量子理論思維模式的轉變，只是死記硬背概念和公式是不夠的，必須通過自己動手完成相當數量的習題才能學好這門課程。

二、 理解量子力學的基本框架

一般量子力學的教科書包括了三個基本部分：

第一部分是關于粒子的波粒二象性。這部分主要分析人類是如何認識到微觀粒子具有波粒二象性，從而讓初學者弄清楚微觀粒子為什么有不同于宏觀物體的運動規律。

第二部分是關于量子力學的基本原理。這是全書的核心內容，學習這一部分內容要注意把握原理的表述形式及原理的內容兩方面。原理的內容包括有：關于微觀狀態的原理，關于力學量的原理，關于運動方程的原理，以及全同性原理。原理的表述形式是指上述原理可以采用不同的表象和繪景來描述。主要弄清什么是表象以及為什么會有不同表象等問題。

第三部分是關于運用基本原理解決的基本物理實際問題及其方法。一般地說量子力學解決的有兩類問題，即粒子在有限空間的運動和在無限空間的運動，前者是束縛態問題，主要是定態問題；后者是散射問題。非物理專業學生主要討論前者。

以上三部分內容是有內在聯系的，粒子的波粒二象性是事實依據，量子力學的基本原理是核心，如何學會運用基本原理解決基本物理實際問題是關鍵。如果能對這三部分有融會貫通的理解，并能用精練的話準確描述出來，那么可以說對量子力學整體框架已有把握。

三、 量子力學教學主線的初步探討

（一） 重視基本概念的教學

由于量子力學課程內容抽象，難以理解，因此加強基本概念教學是學生學好量子力學的關鍵。量子力學中有不少的基本概念，例如定態、簡并、基態、激發態、疊加態、表象、微擾等。但我們認為，較為突出的或學生難以接受的主要有量子化概念和波粒二象性及不確定關系。

1. 學習量子力學，應使學生明確“量子”的含義

“量子”英文為“quantum”，其意義是“一份一份的”。量子化是微觀世界物質運動的一個特點，表明描述微觀粒子體系的物理量呈現不連續性或是某一個最小單元的整數倍。例如在黑體輻射問題中，電諧振子的能量En是能量子(最小能量單元)ε=hv的整數倍(En=nε，n=1，2，3，…)。

量子化概念，學生從學習經典物理學的困難時開始接觸，經過對諧振子、一維無限深勢阱、氫原子問題的討論，量子化成為解薛定諤方程的必然結果，再由表示力學量的算符的性質，得到分立的本征值就是該力學量所有可能的測量值這樣一個量子力學的基本假設，學生對概念的認識逐步理解和掌握。

2. 準確理解“不確定關系”的概念

⑴ 不確定關系是統計規律的定量結果

不確定關系是描寫微觀粒子統計性規律的定量反映。統計性是量子力學描述的一個基本特點，統計或概率概念是量子理論的基本概念，是理解量子力學的關鍵所在。各種詮釋的主要分歧也在于此。按照互補性詮釋，統計性是量子性的必然結果，或者說統計性是邏輯地包含在量子概念之中的。

⑵ 不確定關系帶來的是微觀世界的精確性

有的學生會認為，不確定關系給物理學帶來了不精確性。其實恰恰相反，不確定關系帶來的正是微觀世界的精確性，因為它反映的是微觀粒子的客觀規律，這種精確性與經典物理的“精確性”的概念有本質的區別。例如，電子的單縫衍射實驗，電子在某一時刻落在何處雖然不能確定，但是，從統計觀點看來，電子落入中區的概率是完全確定的，其概率為75%。

（二） 把態疊加原理作為主線之一進行教學

態疊加原理在量子力學中占有重要的地位，由它可以預言系統中各力學量的取值，也限定了薛定諤方程和表示力學量的算符是線性的要求，同時也是態的表象的理論基礎。圍繞態疊加原理的教學，可以將相關知識點串成一條線索，有助于學生對量子力學的基本概念形成整體理解。

⒈ 純態、混合態與量子測量

微觀粒子狀態是用波函數來描述的。所謂純態就是系統可以用概率振幅來描寫，因而有干涉性或迭加原理。混合態是純態的線性疊加，混合態與純態不同，它不能用概率振幅來描述，僅能用在某個態中的概率來確定系統的狀態，這時迭加原理或干涉性消失。所謂量子測量，就是讓測量儀器和被測系統產生某種相互作用，以便能夠從測量儀器的狀態去“讀出”被測系統的狀態。量子力學的測量假說指出，量子體系在經歷測量之后，就躍遷到相應算符的本征態上。更具體地說，如果對某一量子體系的物理量L進行測量，那么在測量后，此體系必定進入由該物理量所對應的線性厄密算符所決定的本征態之中。

2. 態疊加原理與薛定諤方程的關系

態疊加原理的數學依據是波函數所滿足的薛定諤方程是線性方程，它使得若?追1、?追2是方程的解，則其線性疊加?追=c1?追1+c2?追2也是方程的解。

3. 態疊加原理與測量結果的不確定性

態疊加原理導致疊加態的測量結果的不確定性，所以態疊加原理的一種理解是，當粒子處于態?追1和態?追2的線性疊加態時，粒子是既處于態?追1又處于態?追2，按確定的概率處于其中某一態。

4. 量子疊加與微觀粒子波粒二象性的關系

學者們都認為量子疊加是由微觀粒子波粒二象性引起的(或量子疊加反映了微觀粒子的波粒二象性)，這種疊加可以解釋微觀粒子的干涉現象。

（三） 深刻理解用算符表示微觀粒子力學量的思想

一般教科書上的敘述是：由于微觀粒子的波粒二象性，使得坐標和動量不能同時有確定值。這種差別的存在，使我們不得不用和經典力學不同的方式，即用算符來表示微觀粒子的力學量。顯然這樣的說明反而使學生不知所云。實際上，力學量用算符表示是一個基本假設。其出發點是，力學量必須是可觀察量。由量子力學描述的是一種統計規律，得出態函數必須滿足歸一化條件，導致量子力學的態空間是一個完備的線性內積空間—希爾伯特空間。即在量子力學中，微觀物理系統的狀態可用希爾伯特空間的矢量描寫。一般來說，量子力學中的算符定義為在希爾伯特空間中的某種運算，它對任何一個態函數作用的結果，按照指定的規則成為另外的態函數，即ψ=φ。當體系處于力學量的本征態時，該力學量有確定值，它就是代表力學量的算符作用在其本征態上所得到的本征值。

（四） 以正交歸一性為主線突破表象理論的教學

量子力學之所以選擇希爾伯特空間作為描述微觀系統狀態的函數空間，是由態函數的性質決定的。任何非空的希爾伯特空間具有正交歸一基的最大優越性，是對給定的矢量通過內積，便很容易定出未知系數。厄米算符本征函數的完備性及正交歸一性，可以很方便地進行展開式系數計算的教學：

3. 由厄米算符的正交歸一完備性，得到表象變換是么正變換，進而得到力學量的表象變換公式、態函數的表象變換公式。

4. 非簡并微擾中，利用到厄米算符一組本征矢的正交歸一性。

參考文獻：

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（江西財經大學電子學院）