函數(shù)圖像及其變換的有關(guān)方法和重要性質(zhì)

函數(shù)的圖像與性質(zhì)是每年高考的必考內(nèi)容，并且是重中之重. 考查的內(nèi)容包括函數(shù)的單調(diào)性#65380;周期性#65380;對稱性和最值及圖像的變換. 考查層次一般為兩個層次:一是基礎(chǔ)再現(xiàn)型，多為選擇題#65380;填空題，有時也有解答題的中等題;二是創(chuàng)新綜合型，多為解答題中的壓軸題. 函數(shù)的圖像是研究函數(shù)的重要工具，圖像語言是重要的數(shù)學(xué)語言，數(shù)形結(jié)合思想是重要的數(shù)學(xué)思想. 圖像變換是重要的初等變換，因而在近年高考中函數(shù)圖像變換倍受青睞. 不僅在選擇題#65380;填空題中直接考查#65380;廣泛滲透，而且在解答題中也有增強的趨勢. 關(guān)注函數(shù)圖像及其圖像變換也成為了區(qū)分考生思維水平與能力層次的一種常用的命題策略. 對此我們須對函數(shù)的圖像與性質(zhì)有深刻的了解. 首先我們來了解一下作函數(shù)圖像的常用方法和常見的圖像變換有哪些.

1. 作函數(shù)圖像的常用方法

① 描點法作圖:結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，如定義域#65380;單調(diào)性#65380;極值點#65380;奇偶性#65380;周期性#65380;對稱性#65380;截距等.

② 利用圖像變換作圖:

平移變換:(m，n > 0)

y = f(x)(向右平移m個單位)→y =f(x - m);

y = f(x)(向左平移m個單位)→y =f(x + m);

y = f(x)(向上平移n個單位)→y =f(x) + n;

y = f(x)(向下平移n個單位)→y =f(x) - n.

伸縮變換:(m，n > 1)

y = f(x)(縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)擴大為原來的m倍) →y = f ;

y = f(x)( 縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮小為原來的 )→y = f(mx);

y = f(x)( 橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)擴大為原來的n倍)→ y = nf(x);

y = f(x)( 橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)縮小為原來的 )→ y =.

對稱變換:

y = f(x)(關(guān)于x軸對稱)→y = -f(x);

y = f(x)(關(guān)于y軸對稱)→y = f(-x);

y = f(x)(關(guān)于原點對稱)→y = -f(-x);

y = f(x)(關(guān)于直線y = x對稱)→y = f-1(x);

y = f(x)( 關(guān)于直線x = m對稱)→y = f(2m - x);

y = f(x)( 關(guān)于直線y = n對稱)→y = 2n - f(x).

y = f(x) (y軸右側(cè)圖像不變，去掉左側(cè)圖像并作出與右側(cè)對稱的圖像) →y = f(|x|);

y = f(x) (x軸上方圖像不變，將x軸下方圖像沿x軸向上翻折)→y= |f(x)|.

2. 圖像的對稱性

常見函數(shù)的對稱性有:

① 函數(shù)y = f(x)的圖像關(guān)于直線y = x對稱 ?圳 f-1(x) = f(x);

② 函數(shù)y = f(x)的圖像關(guān)于直線x = a對稱 ?圳對于定義域內(nèi)任意的x都有f(a + x) =f(a - x).

下面先以二次函數(shù)的性質(zhì)圖像舉例說明:

在復(fù)習(xí)函數(shù)的單調(diào)性時，必須讓學(xué)生對二次函數(shù)y = ax2 + bx + c在對稱軸兩側(cè)區(qū)間上的單調(diào)性的結(jié)論用定義進(jìn)行嚴(yán)格的論證，使它建立在嚴(yán)密理論的基礎(chǔ)上，與此同時，進(jìn)一步充分利用函數(shù)圖像的直觀性，給學(xué)生配以適當(dāng)?shù)木毩?xí)，使學(xué)生逐步自覺地利用圖像學(xué)習(xí)二次函數(shù)有關(guān)的一些函數(shù)單調(diào)性.

例1 畫出下列函數(shù)的圖像，并通過圖像研究其單調(diào)性.

(1) y = x2 + 2|x - 1|- 1;

(2) y = |x2 - 1|;

(3) y = x2 + 2|x| - 1.

這里要使學(xué)生注意這些函數(shù)與二次函數(shù)的差異和聯(lián)系. 掌握把含有絕對值記號的函數(shù)用分段函數(shù)去表示，然后畫出其圖像.

例2 設(shè)f(x) = x2 - 2x - 1在區(qū)間[t，t + 1]上的最小值是g(t). 求g(t)并畫出 y = g(t)的圖像.

解 f(x) = x2 - 2x - 1 = (x - 1)2 - 2，在x = 1時取最小值 -2.

當(dāng)1∈[t，t + 1]即0 ≤ t ≤ 1時，g(t) = -2;

當(dāng)t > 1時，g(t) = f(t) = t2 - 2t - 1;

當(dāng)t < 0時，g(t) = f(t + 1) = t2 - 2.

g(t) = t2 - 2， (t < 0)， -2，(0 ≤ t ≤ 1)，t2 - 2t - 1， (t > 1).

首先要讓學(xué)生弄清楚題意，一般地，一個二次函數(shù)在實數(shù)集合R上或者只有最小值或者只有最大值，但當(dāng)定義域發(fā)生變化時，取最大或最小值的情況也隨之發(fā)生變化. 這也是學(xué)生在學(xué)習(xí)時容易出錯的地方，我們可以輔以圖像幫助理解.

二次函數(shù)，它有著豐富的內(nèi)涵和外延. 作為最基本的冪函數(shù)，可以以它為代表來研究函數(shù)的性質(zhì)，可以建立起函數(shù)#65380;方程#65380;不等式之間的聯(lián)系，可以編擬出層出不窮#65380;靈活多變的數(shù)學(xué)問題，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和綜合數(shù)學(xué)素質(zhì)，特別是能從解答的深入程度中，區(qū)分出學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識和思想方法解決數(shù)學(xué)問題的能力. 我們可以再以其他函數(shù)為例對圖像的變換應(yīng)用加以說明.

例3 f(x) = 2sinx是定義在區(qū)間[-10，10]上的奇函數(shù)，令g(x) = af(x) + b，則下列關(guān)于函數(shù)g(x)的敘述正確的是 ( ).

A. 若a < 0，則函數(shù)g(x)的圖像關(guān)于原點對稱

B. 若a = 1，0 < b < 2，則方程g(x) = 0有大于2的實根

C. 若a = -2，b = 0，則函數(shù)g(x)的圖像關(guān)于y軸對稱

D. 若a ≠ 0，b = 2，則方程g(x) = 0有三個實根

解析 當(dāng)若a = 1，0 < b < 2時，g(x)= af(x) + b，由圖像可知g(2) = f(2)+ b = 0 + b > 0，g(3)= f(3) + b < -2 + b < 0，所以當(dāng)x ∈(2，3)時，必有g(shù)(x) = 0，故B正確.

例4 已知函數(shù)y = ex 的圖像與函數(shù)y = f(x)的圖像關(guān)于直線y = x對稱，則以下選項正確的是().

A. f(2x)= e2x (x ∈R)B. f(2x)= ln2#8226;lnx(x > 0)

C. f(2x)= 2ex (x ∈R)D. f(2x)= ln2 + lnx(x > 0)

解析 函數(shù)y = ex 的圖像與函數(shù)y = f(x)的圖像關(guān)于直線y = x對稱，所以y = f(x)是y = ex 的反函數(shù)，即f(x) = ln x.

∴ f(2x)= ln2x = ln2 + lnx(x > 0)，故D正確.

注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文#65377;”