學習《排列組合》時容易出錯的兩類問題

【摘要】在排列組合的學習中，有些問題看似相似，但實際上相差甚遠. 部分學生在學習時，總是將有些相似的問題混為一談，理不清頭緒. 本文就學生經常出錯的兩類問題予以歸納，給需要者一個幫助.

【關鍵詞】 高中數(shù)學教育;方法;歸納

問題一 把6本不同的書平均分成三堆(即每堆兩本)，有多少不同的分法?

有人說共有C#8226;C#8226;C = 90(種)的分法. 他們的理由是:第一堆可以從6本不同的書里任取兩本，一共由C 種取法，當?shù)谝欢讶『筮€剩下4本書，第二堆只能從這剩下的4本書里取兩本，有C種方法，這時第三堆只能從再剩下的2本書里取2本，即C種方法，所以總共有C#8226;C#8226;C = 15 #8226;6#8226;1 = 90(種)方法. 這個答案是錯誤的. 為了說明問題，我們分別用a1，a2，a3，a4，a5，a6來表示6本不同的書. 如果從C中選的是a1，a2兩本，在C中選的是a3，a4，而在C 中則只能選a5，a6，但是如果在 C中選a3，a4，在C中就能選a1，a2(也可以是a5，a6)，那么在C中則只能是a5，a6(或a1，a2)，可是在這種分法之下，也只能說一堆為a1，a2 ，一堆為a3，a4 ，一堆為a5，a6 ，因此這種分法都與上邊的分法是同一種分法，而按上述分法卻把他們當做了不同的分法，因此這樣所分得的分法種數(shù)顯然是多了，那么多多少呢?由上面的分析可以看出，任何一堆為a1，a2，另一堆為a3，a4，第三堆為a5，a6的情況總共有P3種，而每一種情況都應看成是同一種分法，因此，實際上，所得的分法總數(shù)比實際應得的數(shù)擴大了P3倍. 所以此題的正確答案應為:

= = 15(種).

如果把題目改為:把6本不同的書平均分給三個人(即每人兩本)，有多少種不同的分法?

由于甲得a1，a2乙得a3，a4與甲得a3，a4乙得a1，a2是不同的分法，所以這個問題的答案是:C#8226;C#8226;C = 90(種)方法.

如果再把題目改為:把6本不同的書分給A，B，C三個人，一人一本，一人兩本，一人三本，有多少種不同的分法?

如果認為答案是C#8226;C#8226;C 或C#8226;C#8226;C或C#8226;C#8226;C那就又不正確了. 因此，對于其中任意一種情況，如一本為a1，兩本為a2，a3，三本為a4，a5，a6. 就有A得一本，B得兩本，C得三本與B得一本，C得兩本，A得三本等共有P3種不同的分法. 因此正確的答案是:C#8226;C#8226;C#8226;P3 = 60 #8226;6 = 360 (種)方法.

如果把問題改為:把6本不同的書，分成三份，一份一本，一份兩本，一份三本，有多少種不同的分法?

那么這個問題的答案是:C#8226;C#8226;C= 60(種)方法，而不是C#8226;C#8226;C#8226;P3了. 因為這里不需要考慮誰得一本，誰得二本，誰得三本.

上面幾個問題是很相似的問題，但是解法卻不相同，關鍵的問題是分組之后有無再排列的問題，解題時必須給以足夠的重視，否則會導致錯誤.

問題二 從4名女生和5名男生中選出四名代表，其中至少有1名女生，2名男生，共有多少種不同的選法?

學生甲的做法如下:從4名女生中選出一名有C種方法，從5名男生中選出2名有C種方法，再從剩下的6個人中人選一人有C種方法. 因此至少有1名女生2名男生的選法共有C#8226;C#8226;C = 60 (種).這個結論是錯誤的.

為了說明問題，我們不妨用a1，a2，a3，a4表示女生，用b1，b2，b3，b4，b5表示男生. 如果C選的是a1，C選的是b1，b2，這時，C中選出男生的情況只能是b3或b4或b5. 現(xiàn)在觀察一下選定a1，b1，b2，b3的情況:在學生甲的做法里，C選a1，C選b2，b3，C選b1與C選a1，C選b1，b3，C選b2都是a1，b1，b2，b3這種情況，可見學生甲的做法里出現(xiàn)了重復的現(xiàn)象，因此，所求的選法數(shù)大了.

從上邊的分析中可以看出:當女生選定1名(如a1)之后，那么另三名全取男生的方法有C種，而對這 C種方法種的每一種(如取b1，b2，b3)，在學生甲的做法中卻是3種方法，所以學生甲計算多了兩倍，因次在他的做法中應減去2C#8226;C.同樣，當男生取定兩名(如b1，b2)之后，另兩名全取女生的方法有C種，而對這C中方法里的每一種(如取a1，a2)，學生甲的算法計算了一倍(即C取a1，C取a2與C取a2，C取a1是一種選法)，因此，在它的做法中應減去C#8226;C.

于是學生甲的思路，其正確解法為

C#8226;C#8226;C - 2C#8226;C - C#8226;C = 240 - 80 - 60 = 100.

因此，此題一般采用以下兩種解法.

解法一 至少有一女二男的情況為2名女生2名男生或1名女生3名男生.

二女二男的選法為C#8226;C ，一女三男的選法C#8226;C，所以共有C#8226;C + C#8226;C = 60 + 40 = 100 種選法.

解法二 從9名學生中選出4人作為代表有C 種方法，其中全是女生的有C;全是男生的有C 種;三女一男的有C #8226;C ，從全體總數(shù)中減去不合要求的就是所求，因此C - C - C - C#8226;C = 126 - 1 - 5 - 20 = 100.

注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內容請以PDF格式閱讀原文#65377;”