含參數不等式恒成立問題的探討

歷年高考試題中，不等式證明屢見不鮮，而含參數不等式恒成立問題更是考查的重點，也是考試比較常見的問題. 各個高中的相關教師和學生都比較關注該問題的求解思路，但是一直沒得到很好的解決，困擾著廣大的中學生與相關教師.

根據多年的教學經驗和查閱參考資料，不難發現，解決這類問題經常使用的是等價轉化的思想，下面總結了等價轉換思想的三種情形，希望能起到拋磚引玉的作用和效果.

一#65380;利用二次不等式恒成立的等價條件

ax2 + bx + c > 0對x∈R恒成立 ?圳 a > 0 且b2 - 4ac < 0;

ax2 + bx + c < 0對x∈R恒成立 ?圳 a < 0 且b2 - 4ac < 0.

例1當m為何值時，mx2 + mx + 2 > 0的解集為R. 分析 此式結構上類似二次不等式，二次項系數含有參數，所以要考慮其系數是零或是非零情況: 當m = 0時，原不等式化為2 > 0在R上恒成立，所以m可以取零. 二次項系數等于零的情況是最容易忽視的地方.

解 當m = 0時，原不等式化為2 > 0，此時解集為R;當m ≠ 0時，原不等式解集為R等價于m > 0且m2 - 8m < 0解得0 < m < 8.

綜上所述，當0 ≤ m < 8時，mx2 + mx + 2 > 0的解集為R.

例2 已知函數f(x) = ax2 + bx + c，其中a∈N*，b∈N，c∈Z，若對任意實數x，不等式4x ≤ f(x) ≤ 2(x2 + 1)恒成立，且存在x0使得f(x0) < 2(x02 + 1)成立，求c的值.

分析 不等式4x ≤ f(x) ≤ 2(x2 + 1)恒成立，等價轉化為4x ≤ f(x)和f(x) ≤ 2(x2 + 1)同時恒成立，分解之后解決問題就簡單化了.

解 令x = 1代入不等式4x ≤ f(x) ≤ 2(x2 + 1)，得f(1) = 4，即a + b + c = 4，從而b - 4 = -a - c.

又由4x ≤ f(x)，得ax2 + (b - 4)x + c ≥ 0.

因a > 0，故Δ = (b - 4)2 - 4ac < 0，即(-a - c)2 - 4ac ≤ 0.

也就是(a - c)2 ≤ 0，從而a = c.

又b ≥ 0，故a + c ≤ 4，2c ≤ 4.

又∵ c = a，∴ c = 1或c = 2.

而當c = 2時，b = 0，f(x) = 2x2 + 2，此時x0不滿足，f(x0) < 2(x02 + 1)，故c = 2不合題意，舍去.

評述 要解決問題就要學會深層次剖析問題，看清問題的實質，從而實現問題轉化實理，復雜問題簡單化#65380;容易化.

二#65380;在某段區間上恒成立問題

例3 已知x∈[0，1]，要使不等式x2 - ax + a + 1 > 0恒成立，求實數a的取值范圍.

分析 可以看做是對應函數在區間[0，1]上函數值大于0，也就是函數圖像在x軸上方.

解 設f(x) = x2 - ax + a + 1，當a < 0時，要使f(x) > 0在0 ≤ x ≤ 1恒成立，只須f(0) > 0，即a + 1 > 0，

∴ a > -1，∴ -1 < a < 0.

當a > 2時，要使f(x) > 0在0 ≤ x ≤ 1上恒成立，只須f(0) > 0，即2 > 0，∴ a > 2.

當0 ≤ a ≤ 2時，要使f(x) > 0在0 ≤ x ≤ 1恒成立，只須f> 0，解得2 - 2< a < 2 + 2 .

∴ 0 < x ≤ 2.

綜上可知a > -1.

三#65380;轉化成求函數最值問題.

例4 設f(x) = lg ，其中a∈R，如果當x∈(-∞，1]時，f(x)有意義，求a的取值范圍.

分析 原題等價于當x∈(-∞，1]時，> 0恒成立，將不等式變形，分離參數a得a > - x +x，從而轉化求 - x +x的最值.

解 設g(x) =- x +x，在x∈(-∞，1]時，只需a > gmax(x).因為g(x)在(-∞，1]上是增函數，所以x = 1時，有gmax(x) = - ，所以a的取值范圍是- ，+∞.

例5 已知a > 0，函數f(x) = x3 - ax在[1，+∞)上是單調增函數，求a的取值范圍.

分析 函數f(x) = x3 - ax在[1，+∞)上是單調增函數，也就是其導數f′(x) ≥ 0對于x∈(-∞，-4]恒成立.

解 f′(x) = 3x2 - a.若f(x)在[1，+∞)上是遞增函數，則在[1，+∞)上f′(x) ≥ 0，即3x2 ≥ a，故a ≤ 3.

結論 通過以上三種等價轉換思緒的分析，以及典型例題的講解，可以看到，含參數的不等式恒成立的證明問題也有著固定的求解思路，如果能深刻地理解上述的三種思想，相信廣大師生可以在求解與證明時起到事半功倍的作用.

注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內容請以PDF格式閱讀原文#65377;”