圖形的旋轉(zhuǎn)與幾何題的證明

2008-12-31 00:00:00田筱

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究 2008年11期

初中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)要求通過圖形的平移#65380;旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)的探索活動，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生空間觀念，培養(yǎng)操作技能，增強(qiáng)審美意識. 其實(shí)利用旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)進(jìn)行一些問題證明時(shí)，會使我們絕路逢生的.

1. 旋轉(zhuǎn)圖形基本性質(zhì)的運(yùn)用

例1 如圖1，正方形ABCD繞著點(diǎn)A，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到正方形AEFG，邊FG與BC交于點(diǎn)H，試問線段HG與線段HB相等嗎?請先觀察猜想，然后證明你的猜想.

分析要證明線段HG與線段HB相等，要么將兩條線段歸于兩個(gè)三角形，證明他們?nèi)?要么歸于一個(gè)三角形證明等腰三角形. 關(guān)鍵的突破是要注意利用旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì).

證明一連接AH(如圖2).

∵四邊形ABCD，AEFG都是正方形

∴∠B = ∠G = 90°.

由題意得 AG=AB.

又AH = AH，

∴ Rt△AGH≌Rt△ABH(HL).

∴ HG = HB.

證明二如圖3，連接GB(略). 圖 3

2. 已知條件的挖掘轉(zhuǎn)換與旋轉(zhuǎn)的圖形性質(zhì)的結(jié)合

例2 如圖4，在等腰直角三角形ABC中，P是斜邊BC的中點(diǎn)，以P為頂點(diǎn)的直角的兩邊分別與邊AB，AC交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF，當(dāng)∠EPF繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)(點(diǎn)E不與A，B重合)，△PEF也始終是等腰直角三角形嗎?請你說明理由.

分析要證明EP = PF，只需證明∠FEP = ∠EFP，但是無法突破. 怎樣轉(zhuǎn)化問題呢?P是等腰直角三角形ABC斜邊BC的中點(diǎn)，連接AP，考慮只要證明△AEP與 △CFP全等問題就解決了. 由于△PEF的旋轉(zhuǎn)，直角∠EPF不變，所以∠APE = ∠CPF，結(jié)合等腰直角三角形斜邊上的中線，則有PA = PC，這里旋轉(zhuǎn)圖形性質(zhì)與已知條件的挖掘是解決問題的關(guān)鍵.

證明連接PA (如圖5).

∵ PA是等腰△ABC底邊上的中線，

∴ PA⊥PC.

又 AB⊥AC，∴ ∠BAP = 90° - ∠P AC.

∵ ∠C= 90° - ∠PAC，

∴ ∠BAP = ∠C.

同理:由PA ⊥PC，PE⊥PF 可得∠APE = ∠CPF.

由PA是直角三角形斜邊上的中線，得PA =BC = PC，∴△AEP ≌ △CFP(ASA)，∴ PE = PF.

因此△PEF始終是等腰直角三角形.

變式訓(xùn)練:

當(dāng)∠EPF繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)，E，F(xiàn)分別在BA與AC的延長線上，那么△PEF也始終是等腰直角三角形嗎?請你說明理由.

3. 圖形的旋轉(zhuǎn)成了我們解決問題的方法

例1 如圖6，P是正三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，且PA = 6，PB = 8，PC = 10，求∠APB的度數(shù)?

分析僅有正三角形條件，三條線段的長度，要求∠PAC的度數(shù)，是很難著手的. 如果把靜止的△PAC看成繞著A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的三角形. 即由于△ABC是正三角形，所以AB =AC，在△ABC外側(cè)做一個(gè)△ADB，利用旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)，作∠DAB = ∠PAC，AD = AP，連接DP，這樣將問題轉(zhuǎn)換成證明△DAP是正三角形，△BDP是直角三角形，則∠APB = ∠BPD + ∠DPA.

證明在△ABC外側(cè)作∠DAB = ∠PAC，AD = AP，連接DP(如圖7).

∵ 正三角形ABC，

∴ AB = AC，

∴ △BDA ≌ △CPA(SAS).

∴ ∠PAC + ∠PAB = ∠BAD + ∠PAB = 60°，

∵ AD = AP，

∴ △DAP是等邊三角形(一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形)，

∴ ∠DPA = 60°，DP = AP = 6.

在△DPB中，DB = PC = 10，PB = 8，PD = 6，

即PD2 + PB2 = DB2，

∴ △BDP是直角三角形(勾股定理的逆定理)，

∴ ∠BPD = 90°.