例析數(shù)學(xué)知識(shí)在物理中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)是與物理聯(lián)系最為緊密的學(xué)科之一. 很多人都說:物理學(xué)得好需要數(shù)學(xué)的輔助. 由此可見，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問題的能力在物理學(xué)習(xí)中起著非常重要的作用. 下面我就幾個(gè)題目談?wù)剶?shù)學(xué)知識(shí)在物理中的應(yīng)用.

一#65380;相似三角形的應(yīng)用

例1 如圖所示，在半徑為R的光滑半球面上高h(yuǎn)處懸掛一定滑輪.重力為G的小球用繞過滑輪的繩子被站在地面上的人拉住.人拉動(dòng)繩子，使小球緩慢運(yùn)動(dòng)到接近頂點(diǎn)的過程中，試分析小球?qū)Π肭虻膲毫屠K子拉力如何變化?

解析 取小球?yàn)檠芯繉?duì)象，對(duì)小球進(jìn)行受力分析:球受重力G#65380;球面對(duì)小球的支持力N和繩子的拉力T.利用平行四邊形將FN和T合成F.則F = G，如圖所示.可以看到由FN，T，F(xiàn)構(gòu)成的力三角形和由邊長L，R，h + R構(gòu)成的幾何三角形相似，從而有:

=，有FN =G.

=，有T =G.

拉動(dòng)小球的過程中，L減小，R，h不變.因此，T減小，F(xiàn)N大小不變.

二#65380;三角函數(shù)知識(shí)的應(yīng)用

例2 一人站在離公路h = 50 m遠(yuǎn)處，如圖所示，公路上有一輛汽車以v1 = 10 m/s的速度行駛，當(dāng)汽車到A點(diǎn)與在B點(diǎn)的人相距d = 200 m時(shí)，人以v2 = 3 m/s的平均速度奔跑，為了使人跑到公路上恰與汽車相遇，則此人應(yīng)該朝哪個(gè)方向跑?

解析 設(shè)人向v2的方向運(yùn)動(dòng)，在公路上與汽車相遇在C點(diǎn)，由正弦定理有:=.

=即=.

從直角三角形可知sin β =，

則sin α = = = .

所以α = arc sin 或者α = arc sin+.

點(diǎn)評(píng) 本題數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用要求比較高，一般學(xué)生很難想到會(huì)用正弦定理. 可見數(shù)學(xué)知識(shí)在物理上的應(yīng)用“無孔不入”啊!

三#65380;解析幾何的應(yīng)用

例3 如圖所示，在雙曲線- = 1的兩個(gè)焦點(diǎn)F1和F2上放置兩個(gè)頻率相同的波源，它們激起的波長為4 cm. 就圖中A，B，C，D四個(gè)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)，下面說法中正確的是().

A. 若A，B振動(dòng)減弱，則C，D一定振動(dòng)減弱

B. 若A，B振動(dòng)加強(qiáng)，則C，D一定振動(dòng)加強(qiáng)

C. A，B，C，D一定振動(dòng)加強(qiáng)

D. A，B，C，D一定振動(dòng)減弱

解析 我們知道兩列波相互干涉區(qū)域中某點(diǎn)是振動(dòng)加強(qiáng)還是減弱點(diǎn)的條件是:

若這一點(diǎn)到兩波源的距離差Δx = |x1 - x2| = nλ，則該點(diǎn)振動(dòng)加強(qiáng);若這一點(diǎn)到兩波源的距離差Δx = |x1 - x2| =λ，則該點(diǎn)振動(dòng)減弱. 這一題正是利用的雙曲線的本質(zhì)特征與上述條件類似，即雙曲線上任一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離差Δr = |r1 - r2| = 2a，從而得到這一題的正確答案.

四#65380;數(shù)列的應(yīng)用

例4 A，B兩點(diǎn)相距s，將s平分為n等份. 今讓一物體(可視為質(zhì)點(diǎn))從A點(diǎn)由靜止開始向B做勻加速運(yùn)動(dòng)，但每過一個(gè)等分點(diǎn)，加速度都增加 . 求該物體到達(dá)B點(diǎn)時(shí)速度.

解析 設(shè)物體經(jīng)過第1，2，3，…，n段路程后的速度分別為v1，v2，v3，…，vx. 則有

v12 = 2a #8226;v22 - v12 = 2a1 + #8226;v23 - v22 =

2a1 + ，vn2 - vn12 = 2a1 +#8226;.

vn2 = 2a 1 + 1 + - 1 + + … + 1 +=

2a n+ ++ …+.

上式中的++ …+為一項(xiàng)數(shù)為n - 1項(xiàng)的等差數(shù)列的和. 其和為

[1 + 2 + … + (x - 1)] =#8226; #8226;(n - 1) =.

所以vx ==.

以上僅是數(shù)學(xué)知識(shí)在物理中應(yīng)用的幾個(gè)方面，還有很多，這里就不一一列舉了. 所以說，要想學(xué)好物理，就必須加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)的靈活運(yùn)用.

注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文#65377;”