數(shù)學(xué)新課程實(shí)驗(yàn)教學(xué)的實(shí)踐與思考

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是為了探究數(shù)學(xué)知識(shí)、檢驗(yàn)數(shù)學(xué)結(jié)論（或假設(shè)）而進(jìn)行的某種操作或思維活動(dòng). 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)指恰當(dāng)運(yùn)用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生參與實(shí)踐、自主探索、合作交流，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出猜想、驗(yàn)證猜想和創(chuàng)造性地解決問(wèn)題的教學(xué)活動(dòng). 數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)要求教學(xué)活動(dòng)要“實(shí)現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容的呈現(xiàn)方式、學(xué)生的學(xué)習(xí)方式、教師的教學(xué)方式和師生活動(dòng)方式的變革”，為學(xué)生的學(xué)習(xí)和發(fā)展創(chuàng)設(shè)豐富多彩的教學(xué)情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性，改變“過(guò)于強(qiáng)調(diào)接受學(xué)習(xí)、死記硬背、機(jī)械訓(xùn)練的現(xiàn)狀，倡導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與、樂(lè)于探究、勤于動(dòng)手，培養(yǎng)學(xué)生收集和處理信息的能力、獲取新知識(shí)的能力、分析和解決問(wèn)題的能力以及交流與合作的能力”. 在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)活動(dòng)中，學(xué)生在創(chuàng)設(shè)的問(wèn)題情境中自主探索、合作交流，親歷了從直觀想象到發(fā)現(xiàn)猜想，然后給出驗(yàn)證及理論證明的數(shù)學(xué)建構(gòu)過(guò)程，以一種主動(dòng)參與的學(xué)習(xí)心態(tài)和合作探究的學(xué)習(xí)方式，構(gòu)建新的認(rèn)知結(jié)構(gòu). 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)已成為研究性學(xué)習(xí)進(jìn)入課堂教學(xué)的有效切入點(diǎn).

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與物理、化學(xué)實(shí)驗(yàn)相比，不僅需要?jiǎng)邮郑枰獎(jiǎng)幽X，思維量大是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的基本特征. 根據(jù)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的實(shí)踐和探索，可以歸納為以下幾種形式：

１． 操作性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)

操作性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)是通過(guò)對(duì)一些工具材料的動(dòng)手操作，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生自主探究數(shù)學(xué)知識(shí)、檢驗(yàn)數(shù)學(xué)結(jié)論（或假設(shè)）的教學(xué)活動(dòng). 這種實(shí)驗(yàn)常適用于與幾何圖形相關(guān)的知識(shí)、定理、公式的探求或驗(yàn)證.

實(shí)例１ “平行線分線段成比例定理”的教學(xué).

師：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段是否成比例？先想一想，再做以下實(shí)驗(yàn).

（１） 如圖，在紙上任意畫(huà)三條平行線l１，l２，l３，截直線ａ，ｂ，得對(duì)應(yīng)線段ＡＢ與Ａ′Ｂ′，ＢＣ與Ｂ′Ｃ′.

（２）用刻度尺度量線段ＡＢ，ＢＣ，Ａ′Ｂ′，Ｂ′Ｃ′的長(zhǎng).

（４） 重復(fù)上述步驟，注意改變ＡＢ，ＢＣ，Ａ′Ｂ′，Ｂ′Ｃ′的長(zhǎng)度，看結(jié)論是否仍然成立？由此你得到了什么？

學(xué)生對(duì)照實(shí)驗(yàn)要求開(kāi)始做實(shí)驗(yàn)，教師一邊巡視，一邊指導(dǎo)，最后師生共同得出定理.

上述教學(xué)先提出問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生思考，再讓學(xué)生動(dòng)手操作，開(kāi)展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn). 結(jié)論基于獨(dú)立探索及同學(xué)間合作探究的基礎(chǔ)上自主發(fā)現(xiàn). 由于學(xué)生畫(huà)三條平行線l１，l２，l３，截直線ａ，ｂ具有任意性，意味著動(dòng)手操作不失一般性，因此得出的結(jié)論也比較可信，理解也深刻，記憶也較牢固，教師扮演的角色是問(wèn)題的引導(dǎo)者、實(shí)驗(yàn)操作的指導(dǎo)者、學(xué)習(xí)的參與者、質(zhì)疑的討論者. 這樣的設(shè)計(jì)是以學(xué)生的探索為中心，開(kāi)展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，強(qiáng)調(diào)的是學(xué)生的主體性，但并沒(méi)有忽略教師的主導(dǎo)作用. 學(xué)生的學(xué)習(xí)是一種探索發(fā)現(xiàn)式的學(xué)習(xí)，學(xué)生的主動(dòng)性與探索精神得到了較好的培養(yǎng).

２． 思維性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)

思維實(shí)驗(yàn)是按真實(shí)實(shí)驗(yàn)方式展開(kāi)的一種復(fù)雜的思維活動(dòng). 思維性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)是指通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的不同變化形態(tài)展示，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用思維方式探究數(shù)學(xué)知識(shí)、檢驗(yàn)數(shù)學(xué)結(jié)論（或假設(shè)）的教學(xué)活動(dòng).

實(shí)例２ 多邊形內(nèi)角和公式的發(fā)現(xiàn)與證明.

師：我們知道三角形內(nèi)角和是１８０°，邊數(shù)是３. 如果我們以三角形的一邊再畫(huà)一個(gè)三角形（畫(huà)圖，見(jiàn)下表中的圖），就得到一個(gè)四邊形ＡＢＣＤ. 請(qǐng)問(wèn)這個(gè)四邊形的內(nèi)角和是多少度？

生１：（思考后）３６０°.

師：為什么？

生：四邊形的內(nèi)角和就是兩個(gè)三角形的內(nèi)角和.

師：噢！原來(lái)是把四邊形的內(nèi)角和轉(zhuǎn)化為三角形的內(nèi)角和. 如果給你一個(gè)五邊形，你能求出它的內(nèi)角和嗎？請(qǐng)同學(xué)們?cè)囈辉?

生２：（思考后）我知道了，是５４０°.

師：說(shuō)說(shuō)你的想法.

生２：添一條輔助線，將五邊形變?yōu)橐粋€(gè)三角形和一個(gè)四邊形，那么五邊形內(nèi)角和就是３６０° ＋ １８０° ＝ ５４０°. 師：對(duì)！還有沒(méi)有不同的思考方法？

生３：也可以添兩條輔助線，將五邊形分割為３個(gè)三角形.

師：很好！通過(guò)添輔助線，將五邊形分割為一個(gè)四邊形和一個(gè)三角形或分割為三個(gè)三角形，從而將五邊形的內(nèi)角和轉(zhuǎn)化為已知的四邊形或三角形的內(nèi)角和，這是數(shù)學(xué)中常用的數(shù)學(xué)思想——化歸思想. （教師一邊講，一邊有意識(shí)地列表，見(jiàn)下表. ）

師：不同的多邊形，它的內(nèi)角和也不同，你知道多邊形內(nèi)角和是隨著哪個(gè)量變化而變化的嗎？

生：多邊形的邊數(shù).

師：對(duì)！下面請(qǐng)同學(xué)們猜想ｎ邊形的內(nèi)角和. （畫(huà)出ｎ邊形Ａ１Ａ２…Ａｎ，見(jiàn)上表. ）

經(jīng)過(guò)思考、討論，得出猜想：ｎ邊形的內(nèi)角和是（ｎ － ２）１８０°. 經(jīng)過(guò)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)的公式，無(wú)論在思想感情上，還是在學(xué)習(xí)興趣上，都要比直接給出公式再加以證明更富有吸引力.

有了猜想的結(jié)論，證明猜想的正確性就成了學(xué)生自發(fā)的需要. 于是，教師趁熱打鐵，先請(qǐng)學(xué)生畫(huà)一個(gè)七邊形驗(yàn)證，在驗(yàn)證的基礎(chǔ)上，又請(qǐng)學(xué)生對(duì)猜想的公式進(jìn)行合理的說(shuō)明.

由于公式嚴(yán)格的證明要用到數(shù)學(xué)歸納法，此處只能用說(shuō)明的方法，體現(xiàn)了對(duì)教材處理的“淡化形式，注重實(shí)質(zhì)”.

３． 類(lèi)比性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)

類(lèi)比性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)是指通過(guò)現(xiàn)實(shí)生活中的具體情境的操作，為數(shù)學(xué)知識(shí)的理解提供原型，從而為數(shù)學(xué)認(rèn)知在思維上掃清障礙.

實(shí)例３ 同類(lèi)項(xiàng).

師：（教師拿出一小袋硬幣）哪位同學(xué)能幫我數(shù)一下這里一共有多少錢(qián)？

（學(xué)生爭(zhēng)先恐后地希望能幫上老師的忙）

學(xué)生１把硬幣一個(gè)一個(gè)從口袋里拿出來(lái)，邊拿邊數(shù)：５角，１．５元，２元……

生１：（3分鐘后）一共８．３元.

學(xué)生２把１角的硬幣１０個(gè)１０個(gè)地拿出來(lái)，把５角的硬幣２個(gè)２個(gè)地拿出來(lái).

生２：（２分鐘后）一共８．３元.

學(xué)生３把桌上的硬幣分堆. 一堆全是１元的，一堆全是５角的，一堆全是１角的. 然后分別數(shù)出每一堆的數(shù)量.

生３：（１分２０秒后） ８．３元.

師：如果這滿滿的一罐，你會(huì)選擇哪名同學(xué)的數(shù)法？

下面很多聲音說(shuō)會(huì)選擇第三名同學(xué)的數(shù)法.

師：為什么？

生：因?yàn)榉诸?lèi).

師：很好. 在數(shù)學(xué)中，對(duì)整式也有一種類(lèi)似的分類(lèi). 這就是同類(lèi)項(xiàng).

……

學(xué)生明白了，原來(lái)合并同類(lèi)項(xiàng)和數(shù)錢(qián)是一個(gè)道理.

不錯(cuò)，數(shù)學(xué)就是從實(shí)際生活中來(lái)的，并不是憑空捏造出來(lái)的.“數(shù)學(xué)教育源于現(xiàn)實(shí)，富于現(xiàn)實(shí)，應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)”. 作為數(shù)學(xué)教育工作者，我們理應(yīng)讓學(xué)生意識(shí)、體會(huì)到這一點(diǎn)，讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)有“源頭”意識(shí).

４． 運(yùn)用現(xiàn)代信息技術(shù)模擬實(shí)驗(yàn)教學(xué)

運(yùn)用現(xiàn)代信息技術(shù)模擬實(shí)驗(yàn)教學(xué)指借助計(jì)算機(jī)等工具的快速運(yùn)算功能和圖形處理能力，模擬再現(xiàn)問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生自主探究數(shù)學(xué)知識(shí)，檢驗(yàn)數(shù)學(xué)結(jié)論的教學(xué)活動(dòng). 計(jì)算機(jī)多媒體技術(shù)為教學(xué)活動(dòng)提供并展示各種所需的圖文資料，創(chuàng)設(shè)、模擬各種與教學(xué)內(nèi)容相適應(yīng)的情境，為抽象的數(shù)學(xué)思維提供了直觀模型，為學(xué)生的學(xué)習(xí)和發(fā)展提供了豐富多彩的學(xué)習(xí)情境和有力的學(xué)習(xí)工具.

實(shí)例４ 對(duì)等式ａ２ ＝ ２中，數(shù)ａ的探求.

師：我們已經(jīng)知道有理數(shù)包括整數(shù)和分?jǐn)?shù)，那么ａ可能是整數(shù)嗎？

生１：我認(rèn)為ａ不可能是整數(shù)，因?yàn)檎麛?shù)的平方也隨著數(shù)的增加而越來(lái)越大，ａ應(yīng)在１和２之間.

師：既然不是整數(shù)，那么ａ有沒(méi)有可能是大于１而小于２的分?jǐn)?shù)呢？

生２：不可能是分?jǐn)?shù)，我可以舉例，最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)的平方還是分?jǐn)?shù)，而ａ的平方是２，它是整數(shù)，所以ａ不可能是分?jǐn)?shù).

師：經(jīng)過(guò)大家的討論可知，在等式ａ２ ＝ ２中，ａ不是整數(shù)，也不是分?jǐn)?shù)，所以ａ不是有理數(shù). 那么ａ會(huì)是多少呢？大膽地猜一猜！

生３：我們知道ａ大于１小于２，取１和２之間的平均數(shù)１．５試一試吧！

教師讓學(xué)生打開(kāi)計(jì)算器，輸入１．５，計(jì)算得２．２５，結(jié)果比２大了，可以適當(dāng)調(diào)整嗎？

生３：稍小一點(diǎn)，試一試１．４吧！

師：輸入１．４得１．９６，結(jié)果又比２小了，接下來(lái)，你想試哪個(gè)數(shù)？

生３：輸入１．４和１．５的平均數(shù)，１．４５吧！

師：輸入１．４５，得２．１０２５，結(jié)果又大了！接下來(lái)，你想怎樣調(diào)整？

生３：逐次縮小，先試１．４４，它的結(jié)果比２大，再１．４３，它的結(jié)果還是比２大，再試……結(jié)果比２小了，由此，我們可以確定ａ應(yīng)在１．４１與１．４２之間. 我接著取它們的平均數(shù)１．４１５來(lái)試，輸入１．４１５，得到２．００２２２５，發(fā)現(xiàn)結(jié)果與２越來(lái)越接近.

師：那么我們能否找到一個(gè)有限的小數(shù)，使得它的平方剛好等于２？

（學(xué)生紛紛議論，意見(jiàn)不一致）

師：我們?cè)僬規(guī)讉€(gè)數(shù)試試看，接下來(lái)，你想試哪個(gè)數(shù)？

生４：稍小一點(diǎn)１．４１４，１．４１４２ ＝ １．９９３９６，由此，可以判斷ａ大于１．４１４小于１．４１５，再取它們的平均數(shù)１．４１４５，得２．０００８１０２５.

師：現(xiàn)在你有體會(huì)了嗎？

生４：不能找到一個(gè)有限的小數(shù)，使得它的平方剛好等于２. 舉個(gè)例子吧，如１．４１４４，得２．０００５２７３６，如果一個(gè)小數(shù)的尾數(shù)是４， 那么它平方后得到的小數(shù)尾數(shù)是６，雖然它平方的結(jié)果和２很接近，但它不可能剛好是２. 所以我們不能找到一個(gè)有限的小數(shù)，使得它的平方剛好等于２.

師：分析得很好. 事實(shí)上，ａ ＝ １４１４２…是一個(gè)無(wú)限的小數(shù)，從目前來(lái)看，大家有沒(méi)有發(fā)現(xiàn)它出現(xiàn)循環(huán)？那你認(rèn)為在省略號(hào)的背后，有沒(méi)有可能出現(xiàn)循環(huán)？

生：不可能出現(xiàn)循環(huán). 若是循環(huán)小數(shù)，那就是分?jǐn)?shù)的另一種表示了，而我們剛才已經(jīng)確定分?jǐn)?shù)的平方不可能是２.

………

探究ａ究竟是什么數(shù)成為這節(jié)課的一個(gè)焦點(diǎn)問(wèn)題，在此過(guò)程中，學(xué)生嫻熟的操作、準(zhǔn)確的計(jì)算為探究問(wèn)題創(chuàng)造了非常好的條件. 計(jì)算器得到了充分的應(yīng)用，計(jì)算器功不可沒(méi). 計(jì)算器的使用使學(xué)生留有更大的精力投入到對(duì)ａ的探究之中，而不被繁瑣的計(jì)算成本所影響. 計(jì)算器的應(yīng)用可以說(shuō)是恰到好處，符合學(xué)生的認(rèn)知水平、年齡特征、操作能力.

數(shù)學(xué)家Ｇ·波利亞指出，“數(shù)學(xué)有兩個(gè)側(cè)面，一方面它是歐幾里得式嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)，從這方面看數(shù)學(xué)像是一門(mén)系統(tǒng)的演繹科學(xué)：但另一方面，創(chuàng)造過(guò)程中的數(shù)學(xué)卻像一門(mén)實(shí)驗(yàn)性的科學(xué)”. 這就要求數(shù)學(xué)課堂教學(xué)既要充分體現(xiàn)它內(nèi)容形式化、抽象化的面，又必須重視數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)、數(shù)學(xué)創(chuàng)造過(guò)程中具體化、經(jīng)驗(yàn)化的一面，在貫徹?cái)?shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)的形勢(shì)下，面對(duì)目前的數(shù)學(xué)教學(xué)，更應(yīng)關(guān)注后者. 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)使學(xué)生在創(chuàng)設(shè)的問(wèn)題情境中探索，在操作、觀察、討論、交流、歸納、猜想、分析和整理的過(guò)程中，理解數(shù)學(xué)問(wèn)題的提出、數(shù)學(xué)概念的形成、數(shù)學(xué)結(jié)論的獲得與驗(yàn)證以及數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用，對(duì)形成參與實(shí)踐、自主探索、合作交流等積極主動(dòng)的學(xué)習(xí)方式創(chuàng)造了有利的條件. 特別是計(jì)算機(jī)多媒體的介入，為學(xué)生提供了更為豐富的學(xué)習(xí)資源，使得數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)有了質(zhì)的飛躍，借助它迅速的圖文處理功能，為抽象的數(shù)學(xué)思維提供直觀的思維背景，使靜態(tài)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)表現(xiàn)為時(shí)空的動(dòng)態(tài)過(guò)程，使數(shù)學(xué)教學(xué)邁進(jìn)了嶄新的天地，使學(xué)生樂(lè)意并有更多的精力投入到現(xiàn)實(shí)的探索性的數(shù)學(xué)活動(dòng)中去. 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)正在以其獨(dú)特的教育功能，受到廣大數(shù)學(xué)教育工作者的特別關(guān)注.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。”