高三學生數學思想的教學與培養

數學思想是指現實世界的空間形式和數量關系反映到人們的意識之中，經過思維活動而產生的結果. 中學數學教學內容從總體上可以分為兩個層次：一個稱為基礎知識，另一個稱為深層知識. 深層知識蘊涵于基礎知識之中，是數學的精髓，它支撐和統帥著基礎知識. 教師必須在講授基礎知識的過程中不斷地滲透相關的深層知識，讓學生在掌握基礎知識的同時，領悟到深層知識，才能使學生的基礎知識達到一個質的“飛躍”，使其更富有朝氣和創造性. 如何在高三數學教學中實施素質教育，提高學生的數學素養，是擺在高三復習中數學教學面前的問題. 那種只重視講授基礎知識，而不注重滲透數學思想、方法的教學，是不完備的教學，它不利于學生對所學知識的真正理解和掌握，只會使學生的知識水平永遠停留在一個初級階段，難以提高；反之，如果單純地強調數學思想和方法，而忽略基礎知識的教學，就會使教學流于形式，成為無源之水，無本之木，學生也難以領略到深層知識的真諦.

一、高三數學思想方法教學途徑

結合本人的教學經驗，主要有以下兩種方法：

1. 用數學思想指導基礎復習，在基礎復習中培養思想方法.① 基礎知識的復習中要充分展現知識的形成和發展過程，揭示其中蘊涵的豐富的數學思想方法. 如討論直線和圓錐曲線的位置關系時的兩種基本方法：一是把直線方程和圓錐曲線方程聯立，討論方程組解的情況；二是從幾何圖形上考慮直線和圓錐曲線交點的情況，利用數形結合的思想方法使問題清晰明了.②注重知識在教學整體結構中的內在聯系，揭示思想方法在知識互相聯系、互相溝通中的紐帶作用. 如函數、方程、不等式的關系，當函數值等于、大于或小于一常數時，分別可得方程、不等式，聯想函數圖像可提供方程、不等式的解的幾何意義. 運用轉化、數形結合的思想，這三塊知識可相互通用.

2. 用數學思想方法指導解題練習，在問題解決中運用思想方法，提高學生自覺運用數學思想方法的意識.①注意分析探求解題思路時數學思想方法的運用. 解題的過程就是在數學思想的指導下，合理聯想提取相關知識，調用一定數學方法加工、處理題設條件及知識，逐步縮小題設與題目間的差異的過程. 也可以說是運用化歸思想的過程，解題思想的尋求就自然是運用思想方法分析解決問題的過程.②注意數學思想方法在解決典型問題中的運用. 例如，選擇題中的求解不等式：x² + y²＞x ＋ 1，雖然可以通過代數方法求解，但若用數形結合，轉化為半圓與直線的位置關系，問題將變得非常簡單.③用數學思想指導知識、方法的靈活運用，進行一題多解的練習，培養思維的發散性、靈活性、敏捷性；對習題靈活變通，引申推廣，培養思維的深刻性、抽象性；組織引導對解法的簡捷性的反思評估，不斷優化思維品質，培養思維的嚴謹性、批判性. 對同一數學問題多角度的審視引發的不同聯想，是一題多解的思維本源. 豐富合理的聯想，是對知識的深刻理解，及類比、轉化、數形結合、函數與方程等數學思想運用的必然. 數學方法、數學思想的自覺運用往往使我們運算簡捷、推理機敏，是提高數學能力的必由之路.

二、高三學生常用數學思想方法分類培養

1. 等價轉化的思想.等價轉化思想是把未知解的問題轉化為已有知識范圍內可解的問題的一種重要的數學思想方法. 轉化包括等價轉化和非等價轉化，等價轉化要求轉化過程中前因后果應是充分必要的，這樣的轉化能保證轉化后的結果仍為原問題所需要的結果；而非等價轉化其過程是充分或必要的，這樣的轉化能給人帶來思維的閃光點，找到解決問題的突破口，是分析問題中思維過程的主要組成部分.轉化思想貫穿于整個高中數學之中，每個問題的解題過程實質就是不斷轉化的過程.

2. 函數與方程的思想方法.函數描述了自然界中量的依存關系，是對問題本身的數量本質特征和制約關系的一種動態刻畫. 因此，函數思想的實質是提取問題的數學特征，用聯系的變化的觀點提出數學對象，抽象其數學特征，建立函數關系. 很明顯，只有在對問題的觀察、分析、判斷等一系列的思維過程中，具備有標新立異、獨樹一幟的深刻性、獨創性思維，才能構造出函數原型，化歸為方程的問題，實現函數與方程的互相轉化接軌，達到解決問題的目的. 函數知識涉及的知識點多，面廣，在概念性、應用性、理解性上能達到一定的要求，有利于檢測學生的深刻性、獨創性思維.

3. 分類討論的思想方法.分類討論是解決問題的一種邏輯方法，也是一種數學思想，這種思想在人的思維發展中有著重要的作用. 原因有二:其一，具有明顯的邏輯性特點；其二，能訓練人的思維的條理性的概括性.如“參數問題”對中學生來說并不十分陌生，它實際上是對具體的個別的問題的概括．從絕對值、算術根以及在一般情況下討論字母系數的方程、不等式、函數，到曲線方程等，無不包含著參數討論的思想．但在含參數問題中，常常會碰到兩種情形：在一種情形下，參數變化并未引起所研究的問題發生質變；而在另一種情況下，參數的變化使問題發生了質變． 這種分類討論有時并不難，但問題主要在于有沒有討論的意識．在更多的情況下，“想不到要分類”比“不知如何分類”的錯誤更為普遍，這就是所謂“素質”的問題. 良好的數學素養，需要長期的磨練形成.

４. 數形結合的思想方法.數形結合的思想，其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，使抽象思維和形象思維結合起來，通過對圖形的認識，數形結合的轉化，可以培養思維的靈活性、形象性，使問題化難為易，化抽象為具體.

總之，數學中滲透著基本數學思想，它們是基礎知識的靈魂，如果能使它們落實到我們學習和應用數學的思維活動上，就能在發展我們的數學能力方面發揮出一種方法論的功能，這對于學習數學、發展能力并開發智力都是至關重要的. 我們在數學教學的每一個環節中，都要重視數學思想方法的教學.“授之以魚，不如授之以漁”，只有掌握方法，形成思想，才能使學生受益終生.