數(shù)學(xué)思維的探究

【摘要】 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是要培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維． 在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，思維是人腦與數(shù)學(xué)對(duì)象的相互作用，而逆向思維是思維的一種重要形式，本文通過一些題目的解決來說明逆向思維的過程．

【關(guān)鍵詞】 發(fā)散思維 逆向思維

一、桃花勝境何處尋——發(fā)散思維

發(fā)散思維的含義：發(fā)散思維又稱擴(kuò)散思維，輻射思維或求異思維． 它是指一種沿著不同方向去思考，從一點(diǎn)向四面八方想開去，由已知探索未知的思維形式． 它是一種多向開展的思維形式．

它是一種開放性的思維，其過程是從某一點(diǎn)出發(fā)，任意發(fā)散，既無一定方向，也無一定范圍． 從同一信息源引發(fā)不同的結(jié)果．

它針對(duì)同一個(gè)問題，沿著不同的方向去思考，在思考中，它不墨守成規(guī)，不拘泥于傳統(tǒng)，不受已有知識(shí)束縛，發(fā)散元沒有固定范圍的局限，故而能夠探求不同的、特異的解決問題的方法． 發(fā)散思維的特點(diǎn)是靈敏、迅速、流暢、思路開闊，它能隨機(jī)應(yīng)變，舉一反三，觸類旁通，它能使人的思路擺脫舊的聯(lián)系，克服心理定式，跳出“常識(shí)”框框，以前所未有的新觀點(diǎn)去洞察、分析事物，作出新的創(chuàng)見．

二、柳暗花明又一村——逆向思維

逆向思維是發(fā)散思維的一種重要形式． 它是從已有的習(xí)慣思路的反方向去思考和分析問題． 表現(xiàn)為逆用定義、定理、公式、法則；逆向進(jìn)行推理，即順推繁雜時(shí)考慮逆求；反向進(jìn)行證明，即直接解決較困難時(shí)考慮間接解決；從反方向形成新結(jié)論，即探討可能性存在邏輯困難時(shí)考慮探討新的可能性（可稱為背向思維）等． 逆向思維反映了思維過程的間斷性、突變性和反聯(lián)結(jié)性，它是擺脫思維定式，突破舊有思想框架，產(chǎn)生新思想，發(fā)現(xiàn)新知識(shí)的重要思維方式．

例1 已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為Ｆ１（－３，１），Ｆ２（５，７），且雙曲線與ｙ軸相切，求雙曲線方程．

解法一 設(shè)雙曲線上的任一點(diǎn)為（ｘ，ｙ），根據(jù)雙曲線的定義“雙曲線是到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡”，再設(shè)此定長(zhǎng)為２ａ，則

-= ±2a.（１）

題中說雙曲線與ｙ軸即直線ｘ ＝ ０相切，把ｘ ＝ ０代入（１），得

-= ±2a ?圯 ９ ＋ （ｙ － １）２ ＝ ２５ ＋ （ｙ － ７）２ ± ４ａ ＋４ａ２ ?圯 ３ｙ － ａ２ － １６ ＝ ± ａ

?圯（９ － ａ２）ｙ２ ＋ （８ａ２ － ９６）ｙ ＋ （ａ４ － ４２ａ２ ＋ ２５６） ＝ ０.（２）

由相切可知方程（２）只有一個(gè)解．

解法二 現(xiàn)在我們用逆向思維來分析，我們把圓錐曲線分成平面所成的包含焦點(diǎn)的部分稱為曲線內(nèi)部，而把不包含焦點(diǎn)的部分稱為曲線外部． 注意本題的條件，關(guān)鍵在于把“雙曲線與ｙ軸相切”的幾何特征解析化． 雙曲線的定義“雙曲線是到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡”．從正面理解，就意味著雙曲線上的任意一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之差等于雙曲線的實(shí)軸之長(zhǎng)． 而從逆向理解定義，就意味著雙曲線內(nèi)部任意一點(diǎn)到它的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之差大于雙曲線的實(shí)軸之長(zhǎng)；而雙曲線外部任意一點(diǎn)到它的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之差小于雙曲線的實(shí)軸之長(zhǎng)．

本題的條件相當(dāng)于“ｙ軸上，除一點(diǎn)（切點(diǎn)Ｍ）外，其余點(diǎn)均在雙曲線外部”． 故只需求出Ｆ1，Ｆ2 到ｙ軸距離之差的最大值即可確定切點(diǎn)． 用幾何對(duì)稱法，設(shè)Ｆ1關(guān)于ｙ軸的對(duì)稱點(diǎn)為Ｎ（３，１），連Ｆ2Ｎ并延長(zhǎng)交ｙ軸于Ｍ，則Ｍ即為切點(diǎn)． 由|MF2| - |MF1| = |F2N| ＝ ２ ，且Ｍ在雙曲線上，若Ｐ（ｘ，ｙ）為雙曲線上的任意一點(diǎn)，就有

-= ±2x2． 化簡(jiǎn)后可知雙曲線方程為：

６ｘ2 ＋ ２４ｘｙ － ｙ2－ １０８ｘ － １６ｙ － ６４ ＝ ０．

通過坐標(biāo)交換，不難推知雙曲線在坐標(biāo)系x′o′y′中的標(biāo)準(zhǔn)方程為- = 1． （本題中可通過特征元素ａ ＝，c =|F1F2| = ５，ｂ =直接寫出． ）

說明 第一種方法是順向思維，過程繁雜，利用（１）通過兩次平方得到三個(gè)不同的值，分別把三個(gè)值代入（１）再兩次平方得到三個(gè)不同的方程．

第二種方法從“雙曲線與ｙ軸相切”和雙曲線的定義，逆向思考得到：雙曲線內(nèi)部任意一點(diǎn)到它的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之差大于雙曲線的實(shí)軸之長(zhǎng)；而雙曲線外部任意一點(diǎn)到它的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之差小于雙曲線的實(shí)軸之長(zhǎng)．

例2已知實(shí)數(shù)ｐ，ｑ滿足p3 + q3 = 2，試確定ｐ ＋ ｑ的取值范圍．

分析 如果從條件出發(fā)進(jìn)行順推，則分解p3 + q3后遇有ｐｑ就不易處理． 但如果逆著進(jìn)行運(yùn)算，即通過設(shè)ｐ ＋ ｑ ＝ ｔ進(jìn)行逆求，則由ｔ３ ＝ （ｐ ＋ ｑ）３ ＝ ｐ３ ＋ ｑ３ ＋ ３ｐｑ（ｐ ＋ ｑ） ＝ ２ ＋ ３ｐｑｔ，可得ｐｑ ＝．

于是由韋達(dá)定理之逆可知ｐ，ｑ是方程ｘ３ － ｔｘ ＋ ＝ ０的兩個(gè)實(shí)根，故判別式 Δ ＝ ｔ２ － ４#8226;≥ ０，即≥ ０ ?圯 ｔ（８ － ｔ３） ≥ ０ （ｔ ≠ ０） ?圯 ０ ＜ ｔ ≤ ２． 于是得到ｐ ＋ ｑ的取值范圍為（0，２］．

數(shù)學(xué)思想方法作為數(shù)學(xué)的精髓，歷來是高考數(shù)學(xué)考查的重中之重．它蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的全過程中．在概率統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容中蘊(yùn)涵著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，如分類討論、逆向思維等．概率統(tǒng)計(jì)為人們處理現(xiàn)實(shí)數(shù)據(jù)信息，分析，把握隨機(jī)事件，提供了強(qiáng)有力的工具（計(jì)算隨機(jī)事件發(fā)生的概率、求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差），也更加豐富、完善了中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法，進(jìn)一步拓寬了知識(shí)的應(yīng)用空間．

三、結(jié)束語

通過以上兩例用順向和逆向思維兩種方法解決問題，說明逆向思維的妙處，所以在數(shù)學(xué)解題中順證有困難，就可以考慮逆證；用綜合法有困難，就考慮用分析法；證明可能性有困難，就探求不可能性． 這樣就可以克服正向思維所造成的解題方法的刻板與僵化，激活思維，提高解題能力．

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。”