提高數(shù)學(xué)習(xí)題課教學(xué)效果的幾點(diǎn)做法

習(xí)題課是數(shù)學(xué)教學(xué)的一種重要課型，它對(duì)學(xué)生的知識(shí)起著鞏固#65380;完善#65380;深化和矯正的作用;又是對(duì)知識(shí)進(jìn)行梳理#65380;整合#65380;再運(yùn)用的過程;也是師生共同進(jìn)一步探討解題方法#65380;提煉數(shù)學(xué)思想，探尋總結(jié)解題規(guī)律，提高分析問題與解決問題的能力，優(yōu)化思維品質(zhì)的重要途徑. 那么如何提高習(xí)題課教學(xué)效果，起到習(xí)題課應(yīng)有的作用呢?筆者通過長(zhǎng)期實(shí)踐得出下面四點(diǎn)做法是可行而有效的.

一#65380;先做后講是習(xí)題課取得好效果的前提

通過做數(shù)學(xué)來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的有效途徑. 無論是習(xí)題課還是新授課，給出習(xí)題后教師留一定時(shí)間讓學(xué)生自己閱讀理解，分析，思考，然后教師對(duì)學(xué)生解決問題過程中思維受阻處進(jìn)行點(diǎn)撥，對(duì)存在的問題加以講解，這會(huì)使學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解更加深刻，取得更好的教學(xué)效果.

在學(xué)完“兩角和與差的三角函數(shù)”的習(xí)題課上，筆者給出這樣一道題:在△ABC中，А = 15°，求sinА-cos(B + C)的值.

巡視時(shí)發(fā)現(xiàn)有的同學(xué)一看到cos(B + C)，立刻化為cosB cosC - sinB sinC，結(jié)果思維受阻，解不下去;還有的同學(xué)將А = 15°，B + C = 165°代入并計(jì)算如下:sin15° - cos165°=sin(45°- 30°) - cos(120° + 45°)，然后利用兩角差的正弦與兩角和的余弦公式解下去;又有一些是這樣做的:sinА - cos(B + C) =sinА - cos(180° - А) =sinА + cosА =sin15° + cos15° =sin(45° - 30°) + cos(45°- 30°)，再利用兩角差的正#65380;余弦公式求解;另有一些同學(xué)是這樣解的: sinА - cos(B + C) = sinА - cos(180° - А) = sinА + cosА =sin15° + cos15° =

( sin15° + cos15°) =

(sin15°cos30° + cos15°sin30°) =

sin(15°+30°) = .

上面幾種解題思路，有的是筆者事前預(yù)料到的，有的卻是不曾想到的. 而學(xué)生也只有親自做過后才知道解題過程中自己存在什么問題. 所以學(xué)生思考后，教師再講評(píng)，無論是聽者還是評(píng)者都能有的放矢，學(xué)生會(huì)感到老師的每句話都說到他的心坎上了，從而對(duì)知識(shí)有更深刻的理解，留下更深刻的印象，這樣做取得的效果與給出題目就講來說，孰優(yōu)孰劣不言而喻.

二#65380;“五點(diǎn)”講評(píng)透徹，是提高習(xí)題課教學(xué)效果的重要舉措

所謂“五點(diǎn)”是指一道題目的重點(diǎn)#65380;切入點(diǎn)#65380;難點(diǎn)#65380;突破點(diǎn)和轉(zhuǎn)折點(diǎn)，“重點(diǎn)”是指該題目所考查的主要知識(shí)點(diǎn)#65380;基本技能和思想方法;“切入點(diǎn)”即題目解答的入口處，俗稱“門檻”;“難點(diǎn)”即體現(xiàn)區(qū)分度的，學(xué)生在解答過程中的著力點(diǎn);“突破點(diǎn)”即溝通已知與欲求(證)的連結(jié)點(diǎn);“轉(zhuǎn)折點(diǎn)”也叫拐點(diǎn)，是指偏離正道走向誤區(qū)之處.

如上面一題:在△АВC中，А = 15°，求sinА - cos(B + C)的值，教師講評(píng)時(shí)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到本題重點(diǎn)是考查兩角和與差的三角函數(shù)公式;蘊(yùn)涵的思想方法是轉(zhuǎn)化與化歸;難點(diǎn)在于何處使用兩角和與差的三角函數(shù)公式;切入點(diǎn)和突破點(diǎn)都是將cos(B + C)中的B + C化為180° - А;轉(zhuǎn)折點(diǎn)在于將sinА - cos(B + C)化為sin15° + cos15°后，是將15°化為45°-30°(或60°- 45°)，然后利用兩角差的正#65380;余弦公式計(jì)算還是將其化為 sin(15°+30°)后得出結(jié)論.

這“五點(diǎn)”不是外顯的，須依靠解題者去破譯，這直接影響到解題的成與敗. 學(xué)生由于經(jīng)驗(yàn)不足#65380;認(rèn)知片面和思維淺薄，對(duì)破譯工作重視不夠，遇到陌生的題目，不是猶豫不決，就是盲目下手，大大降低了解題的成功率. 作為教師要努力引導(dǎo)學(xué)生在洞悉“五點(diǎn)”上狠下工夫，長(zhǎng)期堅(jiān)持“五點(diǎn)”講評(píng)透徹，能從根本上提高學(xué)生分析問題#65380;解決問題的能力，達(dá)到優(yōu)化思維品質(zhì)的效果.

三#65380;思想方法的總結(jié)提煉，是提高習(xí)題課教學(xué)效果不可缺少的一步

如果習(xí)題課只是就題論題，只能讓學(xué)生獲得一些知識(shí)的碎片，充其量學(xué)到解題的一招一式，達(dá)不到葉圣淘先生說的“講是為了不講，教是為了不教”的目的. 但如果能引導(dǎo)學(xué)生對(duì)思想方法進(jìn)行總結(jié)提煉，就可達(dá)到舉一反三，觸類旁通的效果，思維品質(zhì)也能得以提升. 羅增儒老師曾提到的一個(gè)案例充分證明了數(shù)學(xué)思想方法的提煉是提高習(xí)題課教學(xué)效果不可缺少的一步.

案例是關(guān)于求“四邊形內(nèi)角和”的，分兩步敘述:

1. 教師在兩個(gè)水平相當(dāng)?shù)陌嗌纤M(jìn)行的學(xué)習(xí)活動(dòng)是一樣的，都組織學(xué)生去探究，找出解題途徑也大體相同. 如圖所示:

教師總結(jié)評(píng)講后，在一個(gè)班(記為A班)增加了一個(gè)環(huán)節(jié)，組織學(xué)生討論在這“一題多解”的背后，有什么共同的地方——“化歸為三角形的內(nèi)角和”;而另一個(gè)班(記為B班)沒有這個(gè)環(huán)節(jié).

2.25天后，組織了一次測(cè)試，求圖7中各角之和(凹五邊形內(nèi)角和)，結(jié)果，A班有89 %的學(xué)生能夠完成，B班有25 %的學(xué)生能夠完成. 完成的學(xué)生多數(shù)是連接兩條輔助線EB，EC，如圖8，轉(zhuǎn)化為三個(gè)三角形內(nèi)角和來解決.

這個(gè)簡(jiǎn)明而富于啟發(fā)的案例告訴我們，思想方法的總結(jié)提煉是提高習(xí)題課效果不可缺少的一步. 這個(gè)案例是一題多解，如果不是一題多解應(yīng)如何提煉數(shù)學(xué)思想方法呢?羅增儒老師告訴我們:“如果遇到一題一解可以通過分析解題的過程與步驟，找出每一步的內(nèi)容與作用，組織為整體的內(nèi)容與作用等，提煉出數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)與邏輯結(jié)構(gòu). 于是內(nèi)在的思想方法就有機(jī)會(huì)浮出水面了，不浮出水面也能作為隱性知識(shí)滲透在學(xué)生的思想里. 關(guān)鍵在于行動(dòng)，有提煉數(shù)學(xué)思想方法的自覺性. ”

四#65380;科學(xué)合理的習(xí)題設(shè)計(jì)，能使習(xí)題課效果發(fā)生質(zhì)的飛躍

科學(xué)合理的習(xí)題設(shè)計(jì)不僅要達(dá)到夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)，訓(xùn)練基本技能，培養(yǎng)理性思維的作用，又要達(dá)到體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和應(yīng)用意識(shí)的作用，還應(yīng)有助于學(xué)生形成清晰的知識(shí)鏈，構(gòu)建合理的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，從而使習(xí)題課效果發(fā)生質(zhì)的飛躍.

上完《導(dǎo)數(shù)應(yīng)用》一章，筆者上了如下一節(jié)習(xí)題課:

首先引導(dǎo)學(xué)生梳理《導(dǎo)數(shù)》和《導(dǎo)數(shù)應(yīng)用》兩章所學(xué)知識(shí)，并畫出知識(shí)框圖，然后讓學(xué)生完成下面習(xí)題:

1. 求函數(shù)f(x) = x +(x > 0)的最小值.

2. 求函數(shù)f(x) = x +(x∈(0，1])的最小值.

3. 求函數(shù)f(x) = x +的單調(diào)區(qū)間，極值，并描繪出大致圖像.

題1可用均值不等式，也可用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性再求解;題2因x∈(0，1]，不能用均值不等式，只能先判斷(0，1)上的單調(diào)性，再確定最值. 這時(shí)教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié):求函數(shù)最值時(shí)，必須考慮其定義域，若用均值不等式求函數(shù)最值時(shí)，對(duì)應(yīng)自變量的值必須在定義域內(nèi)，否則要考慮通過判斷函數(shù)單調(diào)性來解決;題3畫出圖像后，引導(dǎo)學(xué)生推廣到f(x) = x + ，其中a > 0，并引導(dǎo)學(xué)生利用圖像總結(jié)其性質(zhì)，特別注意函數(shù)在(0，a)上遞減，在(a，+∞)上遞增，函數(shù)在x = a時(shí)取到極小值，當(dāng)x > 0時(shí)，在該處取到最小值. 為了鞏固這類題的重要信息，做下面兩道鞏固練習(xí):

1. 求函數(shù)y = sinx + ，x∈(0，π)的最小值.

2. 求函數(shù)f(x) =的最值，并畫出函數(shù)的圖像.

解得第2題最大值為 ，最小值為- ，這時(shí)教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)最大#65380;最小值的概念，并寫出:- ≤ ≤ ，接著問:“如果要將題2改編，你會(huì)怎樣改編呢?”學(xué)生說出很多種改編方式，其中一種是:“證明:對(duì)任意x∈R，不等式- ≤ ≤恒成立. ”教師問:“如果要證明這個(gè)不等式，你們會(huì)證明嗎?”學(xué)生:“會(huì)，只要求出函數(shù)f(x) =的最大#65380;最小值即可. ”到此，通過構(gòu)造函數(shù)，然后求函數(shù)最值的方法來證明不等式就水到渠成了.

習(xí)題課堅(jiān)持上述幾種做法，有助于培養(yǎng)學(xué)生閱讀理解和觸類旁通的能力;有助于學(xué)生進(jìn)一步掌握和鞏固知識(shí)的相互聯(lián)系，形成合理的知識(shí)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò);有助于提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力，從而大大提高習(xí)題課教學(xué)效果，并為學(xué)生持續(xù)發(fā)展奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文#65377;”