例談“數形結合”在幾類問題中的應用

“數”和“形”是共存于同一體中的事物的兩個側面. “數”缺“形”少直觀，“形”離“數”難入微(華羅庚語). 在習題教學中，要注意引導學生從數與形兩個側面面對問題進行分析，充分利用形的直觀性來揭示數學問題的本質屬性，由形想數，利用數來研究形的各種性質，尋求運動規律，以培養學生思維的深刻性與批判性. 請看下面的問題.

一#65380;與函數有關的問題:函數的圖像及性質常常是解決問題的突破口

例1 實系數方程x2 + ax + 2b = 0的一根在(0，1)之間，另一根在(1，2)之間，求的范圍.

分析 若直接利用求根公式或根與系數的關系，則步履維艱;若把數的關系轉化為圖像，則條件便轉化到圖像上. 令f(x) = x2 + ax + 2b，可得f(0) > 0，f(1) < 0，f(2) > 0，即b > 0，1 + a + 2b < 0，2 + a + b > 0.

它是(a，b)所要滿足的條件，用圖像表示點(a，b)的區域為△ABC的內部，可理解 的幾何意義為過點(a，b)與(1，2)的直線的斜率，顯然有= kAD < < kBD = 1.

例2 y = f(x)的定義域為實數集R，且有f(3 - x) = f(3 + x)，已知f(x) = 0恰有四個不同的實數根，則此四個實數根之和是多少?

解 由f(3 - x) = f(3 + x)，知道函數f(x)的圖像關于直線x = 3對稱，如圖，畫一個符合要求的函數f(x)的圖像，設有兩個根分別為a，b，由對稱性知，另一根分別為6 - a，6 - b，于是，四根之和a + b + (6 - a) + (6 - b) = 12.

二#65380;與拋物線有關的問題:利用圖像常能找到便捷的解題途徑

例3 已知拋物線C:y2 = 2x - 1 即定點A(2，0)，試問:是否存在過A點的直線L，使得能在拋物線上找到不同的兩點關于直線L對稱?若存在，請求出直線L的斜率的范圍;不存在，請說明理由.

解 設直線L的方程為y = k(x - 2).

當k = 0時，顯然成立.

當k ≠ 0時，設拋物線上關于直線L對稱的兩點為:P(x1，y1)#65380;Q(x2，y2)， PQ的中點為R(x0，y0).

由y12 = 2x1 - 1，y22= 2x2 -1，兩式相減，得y0 = -k. 又因直線L過點R，所以y0 = k(x0 -2)，得x0 = 1.如圖，過R作x軸的平行線交拋物線于N，則yN = -k，得xN =，結合圖像易知xN < x0， 即< 1，得-1 < k < 1(k ≠ 0)，故知斜率的范圍為k ∈ (-1，1).

三#65380;方程與不等式的解的問題

如果方程或不等式兩邊的表達式有明顯的幾何意義，或通過某種方式可以與圖形建立聯系，則可設法構造圖形，將方程或不等式所表達的抽象數量關系轉化為圖形的位置或度量關系加以解決.

例4 解方程:

+=20.分析 要解這個方程，按一般解法，就是先化簡，經過兩次平方后脫去根號，再求解. 但過程非常繁冗，容易出錯，因此是個好解法. 我們認真觀察一下這個方程的形式，就會聯想到橢圓第一定義的數學表達式，配方后再令5 = y2，即可得 + = 20，且20 >10 . 由橢圓第一定義可知，點(x，y)的軌跡為一個以(-5 ，0 )#65380;(5 ，0)為焦點#65380;長軸為20的橢圓. 這樣的話，解原方程就等價于已知橢圓上點的縱坐標去求它的橫坐標. 因此問題得以簡潔明快地解決.

解 原方程 ?圳

+ = 20 ?圳

+ = 20y2 = 5?圳

+y2 = 5 = 1 ?圳+ = 1.

故原方程的解為x = ±4 .

若將方程中的等號改為不等號，解這個無理不等式，同樣可以用類似方法去解，節省了大量的不必要運算.

四#65380;巧用平面幾何知識，避免運算

例5 已知圓x2 + y2 = 4和點C(1，0)，A，B為圓周上的兩個動點，且滿足∠ACB = 90°，求弦AB的中點P的軌跡方程.

分析 利用解析幾何的知識與方法，一般設P(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 得x12 + y12 = 4，x22 + y22 = 4，x1 + x2 = 2x， y1 + y2 = 2y， y1y2 = -(x1-1)(x2-1). 通過這五式消去x1，x2，y1，y2，得x，y的方程，眾多未知數的消元過程使大部分學生手足無措，但若能聯想初中平面幾何中，直線和圓之間的圖形性質，此題的簡便解法就在情理之中了.

解 連AO，PO，CO. 因P為弦AB的中點，故OP⊥AB. 又在Rt△ACB中，|PC|= |AB|，所以 |PC|2 = |PA|2 = |AO|2 - |PO|2，因為AO = 2，設P點的坐標為(x，y)，又C(1，0)，所以軌跡方程為:2x2 + 2y2 - 2x - 3 = 0.

五#65380;求最值問題，通過圖形架設與數量間的橋梁，常常憑借特殊位置#65380;圖形性質等直觀優勢，得到簡捷解法

例6 求函數f(θ) = +的最小值.

思路分析 本題難度較大，用一般的方法不易求解，且過程十分繁瑣. 于是考慮能否將“數”轉化為“形” ?

利用1 = cos2 θ + sin2θ 可將函數變形為:

f(θ) =+

= x + y，則x為點M(cos θ，sin θ)到點P(1，1)的距離，y為點M到Q(-1，0)的距離，而點M(cos θ，sin θ)顯然為單位圓上的動點，故求f(θ)的最小值問題即轉化為求單位圓上動點M到兩定點P，Q的距離和的最小值. 用圖形表示，容易得到當M為PQ與單位圓在第一象限內的交點時，MP + MQ有最小值 . 綜上所述，本文涉及了數學解題中常用的(但不是全部的)一些思維方法，這些方法是互相滲透，相輔相成的，在解題中或單獨或同時交替起作用.

例7 求函數y = - 的最大值.

解 配方，得y = - ，則原題可看做是求點P(x，0)到點A(-1，5)與 B(3，2)的距離之差的最大值.

聯想到幾何知識，可得圖如右，當P在直線AB與x的交點位置時， |AP| - |BP| 最大，最大值為 |AB| .

由直線AB的方程= ，令y = 0，得x = . 故P位于 ，0時，

ymax = AB = = 5，

所以，當x =時，y的最大值為 5 .

注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內容請以PDF格式閱讀原文#65377;”