注重數學思想在中考數學中的應用

數學學習不僅是對概念#65380;規則#65380;定理的記憶與模仿，更重要的是培養數學思維方法.它蘊涵于知識的發生#65380;發展和應用過程中，是數學的精髓，是數學知識#65380;數學技能#65380;數學方法的本質體現，是靈活運用數學知識#65380;技能#65380;方法的靈魂.如果同學們能掌握并運用好數學思想方法，那么在解題時，就會減少復雜的運算及死記硬背的內容.下面舉例說明初中階級遇到的幾種數學思想，供大家參考.

一#65380;數形結合思想

數形結合就是抓住數和形之間的本質聯系，以“形”直觀地表達“數”，以“數”精確地研究“形”，把抽象的數轉化為直觀的形或把復雜的形轉化為具體的數，從而避開繁瑣的運算，簡捷解題.

例1 (2007年鄂爾多斯市)在邊長為a的正方形紙片中剪去一個邊長為b的小正方形(a > b)(如圖1(1))，把余下的部分沿虛線剪開，拼成一個長方形(如圖1(2))，分別計算這兩個圖形陰影部分的面積，可以驗證的乘法公式是(用字母表示).

解析 由題意可知，當把圖1(1)中的陰影部分沿虛線剪開后，可得到兩個形狀相同的梯形，其上底長為b，下底長為a，高為a - b，所以圖1(2)中長方形的長為a + b，寬為a - b，其陰影部分的面積為(a + b)(a - b). 由于圖1(1)中陰影部分的面積為a2 - b2，因此驗證了因式分解中的平方差公式:a2 - b2 = (a + b)#8226;(a - b).故應填a2 - b2 = (a + b)(a - b).

例2 (2006年山西省)甲#65380;乙兩人進行羽毛球比賽，甲發出十顆十分關鍵的球，出手點為P，羽毛球飛行的水平距離s(米)與其距地面高度h(米)之間的關系式為h = - s2 +s +.如圖2，已知球網AB距原點5米，乙(用線段CD表示)扣球的最大高度為 米，設乙的起跳點C的橫坐標為m，若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而導致接球失敗，則m的取值范圍是 .

解 由題意，得- s2 +s + =.

解得s1 = 4 +，s2 = 4 -，(不符合題意，舍去).

所以當5 < m < 4 + 時，因球的高度高于乙扣球的最大高度而導致接球失敗，故應填 5 < m < 4 +.

二#65380;分類討論思想

當數學問題不宜用統一方法處理時，就需要按照一定的分類方法或標準將問題分為若干類，然后逐類分別討論，再把結論匯總，得出問題的答案.分類討論一般分為三個步驟:首先確定討論的對象;然后針對討論對象進行合理的分類;最后歸納討論結果，綜合得出結論.

例3 (2007年重慶市)已知:如圖3，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，四邊形OABC為矩形，點A，C的坐標分別為A(10，0)，C(0，4)，點D是OA的中點，點P在BC邊上運動，當△ODP的腰長是5的等腰三角形時，點P的坐標為.

解析 因為點P在BC邊上運動，所以點P的縱坐標始終為4. 又因為點D是OA的中點，OA = 10，所以OD = 5.

下面分三種情況進行討論:

(1) 當PO = PD時，點P在OD的中垂線上，故點P的坐標為(2.5，4).

(2) 當OP = OD時，在Rt△OPC中，OP = 5，OC = 4，故PC = 3，點P的坐標為(3，4).

(3) 當DO = DP時，可利用(2)的方法得到點P的坐標為(2，4)或(8，4)，故點P的坐標為(2.5，4)，(2，4)，(3，4)，(8，4).

三#65380;轉化與化歸思想

在處理和解決數學問題時，將之轉換歸結為自己熟悉的或易于解決的問題，將抽象的問題轉化為具體#65380;直觀的問題，將復雜的問題轉化為簡單的問題，將實際問題轉化為數學問題，從而使問題得到解決.

例4 (2007年南通市)已知:2a - 3x + 1 = 0，3b - 2x - 16 = 0，且a ≤ 4 < b，求x的取值范圍.

解析 由于a = ，b = ，則 ≤ 4，> 4.

解得-2 < x ≤ 3，故x的取值范圍為 -2 < x ≤ 3.

四#65380;建模思想

建模思想就是將某一問題的特征與數量關系運用形式化的數學語言建立一種數學結構，通過對建立的數學結構的研究，從而解決原實際問題的一種思維策略.數學模型一般包括方程模型#65380;不等式模型#65380;幾何模型#65380;三角模型等.

例5 (2007年湖北武漢市)你一定玩過蹺蹺板吧!如圖4是小明和小剛玩蹺蹺板的示意圖，橫板繞它的中點O上下轉動，立柱OC與地面垂直.當一方著地時，另一方上升到最高點.問:在上下轉動橫板的過程中，兩人上升的最大高度AA′ ， BB′有何數量關系?為什么?

解析 AA′ = BB′.

理由:∵ O是AB，A′B′的中點，

∴ OA = OB，OA′ = OB′.

又 ∠A′OA= ∠B′OB，

∴ △A′OA ≌ △B′OB， AA′ = BB′.

例6 (2006年廣西南寧市)南博汽車城銷售某種型號的汽車，每輛進貨價25萬元，市場調研表明:當銷售價為29萬元時，平均每周能售出8輛，而當銷售價每降低0.5萬元時，平均每周能多售出4輛.如果設每輛汽車降低x萬元，每輛汽車的銷售利潤為y萬元(銷售利潤 = 銷售價 - 進貨價).

(1) 求y與x的函數關系式;在保證商家不虧本的前提下，寫出x的取值范圍.

(2) 假設這種汽車平均每周的銷售利潤為Z萬元，試寫出Z與x之間的函數關系式.

(3) 當每輛汽車的定價為多少萬元時，平均每周的銷售利潤最大?最大利潤是多少?

解析 (1)由題意，y = 29 - 25 - x，即 y = -x + 4(0 ≤ x ≤ 4).

(2) z = 8 + × 4y = (8x + 8)(-x + 4)，

故 z = -8x2 + 24x + 32 = -8x -2 + 50.

(3) 由(2)可知，當x = 時，Z最大 = 50.

因此當定價為29 - 1.5 = 27.5萬元時，有最大利潤，最大利潤為50萬元.

注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內容請以PDF格式閱讀原文#65377;”