“常數(shù)變易法”在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

【摘要】 舉例說明常數(shù)變易法在中學(xué)數(shù)學(xué)的知識(shí)學(xué)習(xí)#65380;問題解決#65380;問題開發(fā)中的應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】 常數(shù)變易法 數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí) 數(shù)學(xué)問題解決 數(shù)學(xué)問題開發(fā)

“常數(shù)變易法”是“微分方程”中解一階線性非齊次微分方程的方法，就是將齊次線性微分方程通解中的常數(shù)c變換為函數(shù)c(x). 它是拉格朗日(Lagrange， Joseph Louis，1736~1813，法國數(shù)學(xué)家#65380;力學(xué)家及天文學(xué)家)十一年的研究成果，微分方程中所用的僅是他的結(jié)論. [1]

在中學(xué)數(shù)學(xué)中，教師常遇到這樣的情況:學(xué)生對含有常數(shù)的題目會(huì)做，但是，如果把常數(shù)變易為字母變量，就不會(huì)了;如果變易為函數(shù)就更不用說了. 筆者結(jié)合本人的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，舉例說明常數(shù)變易法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.

1. 數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)

例1 已知關(guān)于x的方程(k - 2)x2 - (3k + 6)x + 6k = 0有兩個(gè)負(fù)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

分析 這樣的問題絕大部分學(xué)生都會(huì)做，但是如果把條件改為“有兩個(gè)小于m的根”，學(xué)生就不會(huì)做了，或者這樣做:

k - 2 ≠ 0，(3k + 6)2 - 4(k - 2)#8226;6k ≥ 0，< 2m，< m2.

這種方法是錯(cuò)誤的，因?yàn)閤1 < m，x2 < m與x1 + x2 < 2m，x2 x2 < m2是不等價(jià)的.

事實(shí)上，x1 < mx2 < m?圳x1 - m < 0x2 - m < 0?圳 x1 + x2 < 2m，(x1 - m)(x2 - m) > 0.原題中“兩個(gè)負(fù)根”的本質(zhì)是x1 < 0，x2 < 0，變題是把常量“0”變易為變量“m”.

例2 已知數(shù)列{an}滿足a1 = 1，an - an-1 = 3，求數(shù)列的通項(xiàng).

分析 這樣的問題幾乎每一名學(xué)生都能做對，只要套用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式就可以了. 但是如果把常量“3”變易為自然數(shù)n的函數(shù)f(n) = kn + b(k，b是常數(shù)，k≠0)，因?yàn)檫@樣的數(shù)列既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列，不能套公式，學(xué)生就不會(huì)做了. 問題出在哪里呢?只記住了通項(xiàng)公式，不理解公式的推導(dǎo)過程. 事實(shí)上，如果學(xué)生掌握了等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過程，這樣的變題是很容易做出來的.

2. 數(shù)學(xué)問題解決

在求解某些題目時(shí)，如果能合理地把常量變易為變量，使問題變成某種數(shù)學(xué)模型，再利用其知識(shí)解題，有時(shí)可以收到出奇制勝的效果.

例3 解方程:-= 8. [2]

分析 按常規(guī)方法，此題需經(jīng)過兩次移項(xiàng)#65380;平方，才能解決，運(yùn)算量太大. 事實(shí)上，原方程可變?yōu)? = 8，從幾何意義上來看，方程式表示的意思是動(dòng)點(diǎn)(x，3)到兩定點(diǎn)( -5，0)， (5，0)的距離的差等于8，這使我們聯(lián)想到雙曲線的定義，如果把常量“3”變易為變量“y”，則會(huì)得到- = 8，動(dòng)點(diǎn)(x，y)的軌跡是雙曲線- = 1的右支，即x > 0，因?yàn)閥 = 3 ，所以x = 4 ，即方程的解是4 .

例4 設(shè)9cos A + 3sin B + tan C = 0， (1)

sin2 B - 4 cos A tan C = 0， (2)

求證:|cos A|≤.[3]

分析 條件(2)很容易使我們想到一元二次方程的判別式，條件(1)中9 = 32，所以，如果把常量“3”變易為變量“x”，則(1)變?yōu)殛P(guān)于x的一元二次方程:

cos A#8226;x2 + sin B#8226;x + tan C = 0. (3)

當(dāng)cos A = 0時(shí)， |cos A| ≤ 顯然成立;

當(dāng)cos A≠0時(shí)，由(2)知，方程(3)有兩個(gè)相等的根“3”，所以，x1x2 = = 9即tan C = 9cos A，代入(2)得sin2 B - 36cos2 A = 0.

所以，cos2 A = sin2 B ≤，所以 |cos A|≤.

3. 數(shù)學(xué)問題開發(fā)

人們常說“提出問題比解決問題更重要”，筆者認(rèn)為，常數(shù)變易法不失為一種提出問題的好方法.

例如，在教學(xué)基本不等式x12 + x22 ≥ 2x1x2時(shí)，本人又讓學(xué)生證明了x13 + x23 ≥ x12x2 + x1x22，x14 + x24 ≥ x13x2 + x1x23，x14 + x24 ≥ 2x12x22，然后讓學(xué)生分析這些結(jié)論，提出問題. 學(xué)生很快提出問題:x1n + x2n ≥ x1ix2j + x1jx2i(i，j∈N+，i + j = n)，并用比差法證明了它.

受剛才常數(shù)變易法的啟發(fā)，學(xué)生情緒高漲，馬上有學(xué)生提出新問題:xin≥ (m∈N+).這個(gè)問題開發(fā)得很好，因?yàn)樗咭话阈裕牵P者至今沒有證明出來. 不管怎樣，教學(xué)目的達(dá)到了.

【參考文獻(xiàn)】

[1]崔士襄.“常數(shù)變易法”來歷的探討.邯鄲農(nóng)業(yè)高等專科學(xué)校學(xué)報(bào)，1998，15(1):4O~41.

[2]王輝，李政謙.巧用常數(shù)變易法解題.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊， 2004(4):34~35.

[3]李英明.常數(shù)變易兩例.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2003(2):38~39.

注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文#65377;”