淺談化歸法求數列的通項

轉化與化歸的思想方法是中學數學中最基本的思想方法，在處理問題時，把待解決的問題，通過某種轉化過程，歸結為一類已經解決或比較容易解決的問題，最終求得原問題的解，是一種把未知轉化為已知的一種重要的思想方法. 數列是高中數學的重要內容，已知數列的遞推關系求數列的通項又是高考試題中常見的題型，常應用化歸法轉化為等差#65380;等比數列再求通項.

例1 (2008年安徽文)設數列{an}滿足a1 = a，an+1 = can + 1 - c，n∈N*，其中a，c為常數，且c≠0，求數列{an}的通項公式.

解 由an+1 = can + 1 - c，得an+1 - 1 = c(an - 1)，

∴ 當a1 = a ≠ 1時，{an - 1}是首項為a - 1，公比為c的等比數列，

∴ an - 1 = (a - 1)cn - 1，即an = (a - 1)cn-1 + 1.

當a1 = a = 1時，得an = 1仍滿足上式，

∴ 數列{an}的通項公式為an=(a - 1)cn-1 + 1(n∈N*).

小結 一般地，對于以a1 = m，an+1 = pan + q(pq≠0，p≠1)型遞推式給出的數列，均可轉化為等比數列，進而求出通項公式.

例2 (2008年全國Ⅰ)在數列{an}中，a1 = 1，an+1 = 2an + 2n . 求數列{an}的前n項和Sn .

解 由已知an+1= 2an + 2n，兩邊同除以2n+1，得= +，

∴ 數列 是首項為 ，公差為 的等差數列，

∴ =+(n - 1)= n，即an = n#8226;2n-1 ，

∴ Sn = 1 + 2#8226;21 + 3#8226;21 + 3#8226;22 + … + n#8226;2n - 1.

兩邊同乘以2，得2Sn = 2 + 2#8226;22 + 3#8226;23 + … + n#8226;2n.兩式相減，得Sn = -1 - 21 - 22 - … -2n-1 + n#8226;2n=

-(2n - 1) + n#8226;2n = (n - 1)2n + 1.

小結 一般地，對于以a1 = m，an+1 = pan + f(n)型遞推式給出的數列，常采用兩邊同除以pn+1轉化為=+，若 為常數，數列 為等差數列，求出通項公式;若 不為常數，可用累加法求通項公式.

例3 (2008年陜西卷)已知數列{an}的首項a1 =，an+1 =，n = 1，2，… ，求{an}的通項公式.

解 ∵ an+1 =，

∴ = + ，

∴ -1 =- 1.

又- 1 =，

∴- 1是首項為 的等比數列，

∴ - 1 = #8226;=，

∴ an = .

小結 對于“分式型”遞推式，可嘗試使用“取倒數”的方法求解.

例4 (2008年天津)已知數列{an}中，a1 = 1，a2 = 2，且an + 1= (1 + q)an - qan-1(n ≥ 2，q≠0)，求數列{an}的通項公式.

解 由an+1 = (1 + q)an - qan-1(n ≥ 2，q≠0)，得

an+1 - an = q(an - an-1).

∴ 數列{an - an-1}是以a2 - a1 = 1為首項，q為公比的等比數列，

∴ an - an-1 = qn-2(n ≥ 2)，從而a2 - a1 = 1，a3 - a2 = q，…，an - an-1 = qn-2.

將各式累加，得an - a1 = 1 + q + … + qn-2(n ≥ 2)，

∴ 當n ≥ 2時，an = 1 +，q ≠ 1，n， q = 1;

當n = 1時也成立.

小結 連續三項間的遞推式，要先轉化為兩項間的遞推關系. 一般地，對于遞推式an+1 = pan + qan-1，當p + q = 1時，則有an+1 - an = -q(an-an-1)，于是{an+1-an}是以-q為公比的等比數列;當p + q ≠ 1時，可設an+1 - αan = β(an-αan-1)與an+1 = pan + qan-1比較系數，得α + β = p，αβ = -q，從而求出α，β，進而求出an.

例5 (2008年重慶)設各項均為正數的數列{an}滿足a1 = 2，an = a n+1an+2(n∈N*)，若a2 =，求數列{an}的通項公式.

解 由已知遞推兩邊同時取以2為底的對數，得log2=log2+ log2 ，

∴ log2+ 2log2 =(log2+ 2log2 ).

又log2+ 2log2 = -2 + 2 = 0，

∴ log2 = -2log2，

∴數列{log2 }是首項為1，以比為-2的等比數列，

∴log2 =(-2)n-1，

∴ an = 2 .

小結 對于不含有加減運算的遞推式，尤其是含有指數運算的遞推關系，可使用“取對數”的方法求通項公式.

注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內容請以PDF格式閱讀原文#65377;”