關于用分部積分法解題的思考

【摘 要】 分部積分法是不定積分方法當中很重要的一種計算方法.本文對不定積分的被積函數的構造作了三種形式的分類，并分別進行了探求解答，特別對于第二種形式下的積分還總結出了規律，并提出了許多變式形式的反思.

【關鍵詞】 分部積分 湊微分

分部積分法是不定積分方法中的一種間接積分方法，它主要是利用分部積分公式 udv = uv- vdu，來求解不定積分 udv.

1. 如果u = x2，v = x，則I = udv = x2dx = x2#8226;x -xd(x2) = x3 -x(x2)′dx = x3 - 2 x2dx = x3 - 2I，故I =x2dx = + c.

嗨!何必多此一舉，利用直接積分法不也能求出 x2dx = + c嗎?

但是，如果u =，v = x，那么對于dx顯然不能直接積分. 再用分部積分法試一試吧!

I =dx = x- xd=

x - x#8226; dx=

x -dx =

x -dx +dx =

x- I + arcsin x.

I = dx =x+arcsin x + c.

成功了!類似地，還可以解 ln xdx， arctan xdx，等等.

2. 如果u = f(x)#8226;g(x)，v = x且f(x)與g(x)是兩個不同的基本初等函數，怎么求 f(x)#8226;g(x)dx呢?

我們知道基本初等函數有冪函數#65380;指數函數#65380;對數函數#65380;三角函數#65380;反三角函數，在這五類中任取兩類，將它們的乘積作為被積函數去求不定積分，則有以下10種類型的不定積分:

(1) x#8226;exdx;(2)x#8226;cos xdx;(3)x#8226;ln xdx;

(4)x#8226;arctan xdx;(5) ex cosx dx;(6)ex ln xdx;

(7) ex arctan xdx;(8)ln x#8226;cos xdx;

(9) ln x #8226;arctan xdx;(10) sin x#8226;arctan xdx.

下面逐一進行探求:

(1) 求 x#8226;ex dx.

x#8226;ex dx = ex d(x2) =exx2 - x2exdx.

上式中 x2exdx的被積函數中的x2的冪指數比要求的 x#8226;exdx的被積函數中的x的冪指數高了一次. 如果繼續采用“先湊冪函數的微分，后用分部積分公式的方法”，盡管沒有錯，但仍然求不出結果，即被積函數的原函數不能表示為初等函數.

再換一條路子嘗試一下:

x#8226;exdx =xd(ex) = x#8226;ex - exdx = x#8226;ex - ex + c.解此類型的題歸結為“冪指湊指”，即當不定積分的被積函數是由冪函數與指數函數的乘積構成時，可以先湊指數函數的微分，然后再利用分部積分公式.

反思一 求 xnexdx，(n∈N).

I(n)= xnexdx= xnd(ex)=xnex-n xn-1exdx = xnex-n#8226;I#8226;(n-1)，得出遞推公式.

反思二 求 x-1exdx.

x -1exdx =d(ex) = - exd= + dx = +x-2exdx，x -1exdx 中的被積函數看似簡單卻求不出結果.

反思三 求 x#8226;eaxdx，a∈R.

當a = 0時， x#8226;eaxdx = xdx = + c;

當a ≠ 0時， x#8226;eaxdx = xd(eax) =x#8226;eax - eaxdx =x#8226;eax - eaxd(ax) =x#8226;eax -eax + c.

綜上所述， x#8226;eaxdx = + c，a = 0; x#8226;eax -eax + c，a ≠ 0.

反思四 求 xneaxdx，n∈N，a∈R.

仿照反思三，可以求出結果.

(2) 求 x#8226;cos xdx.

與(1)的求法類似，若將x#8226;cos x中的冪函數x先湊微分，必積不出結果，故 x#8226;cos xdx =xd(sin x)= x#8226;sin x - sin xdx = x#8226;sin x + cos x + c.

總結規律:“冪三湊三”.

反思一:求 xn cos xdx(n∈N)，解略.

反思二:求 x-1 cos xdx，求不出結果.

反思三:求 x#8226;cos(ax)dx(a∈R)，解略.

反思四:求 x#8226;sin xdx，解略.

反思五:求 x#8226;sec xdx，不可解.

反思六:求 x#8226;sec2 xdx，解略.

反思七:求 x#8226;sec2n xdx，n∈N，解略.

反思八:求 x#8226;cos2 xdx，解略.

反思九:求 x#8226;cosn xdx(n∈N)，解略.

(3)求 x#8226;ln xdx.

因為ln x無法湊微分，故只能這樣解

x#8226;ln xdx = ln xd(x2) =x2 ln x - x2d(ln x) =x2 ln x - x2#8226; dx =x2 ln x -x2 + c.

規律:“冪對湊冪”.

反思一:求 x-1 ln xdx.

反思二:求 x-2 ln xdx.

x-2 ln xdx = - ln xd= - +dx = - + c.

反思三:求 xlnxdx，解略.

反思四:求 x-n ln xdx (n∈N)，解略.

反思五:求 x#8226;ln (ax)dx(a > 0)，解略.

反思六:求 x(ln x)ndx(n∈N)，解略.

(4)求 x#8226;arctan xdx.

因為arctan x很難湊微分，只有對被積函數中的冪函數x湊微分，故有 x#8226;arctan xdx = arctan xd(x2) =x2 arctan x -dx =x2arctan x - 1 -dx =x2 arctan x -x +arctan x + c.

規律:“冪反湊冪”.

反思一:求 xn arctan xdx，(n∈N)，解略.

反思二:求 x-1 arctan xdx，解不出結果.

反思三:求 x(arctan x)2dx，解略.

反思四:求 x(arctan x)3dx，解不出結果.

反思五:求 x#8226;arcatan xdx，解略.

(5)求 ex cos xdx.

始終如一地對ex湊微分，則有

I =cos xd(ex) = ex cos x - exd(cos x) = ex cos x +ex sin xdx = ex cos x + sin xd(ex) = ex cos x + ex sin x -exd sin x = ex cos x + ex sin x - ex cos xdx = ex cos x + ex sin x - I，I =ex(sin x + cos x) + c.

若始終如一地對三角函數湊微分，也同樣可以求出I =ex(sin x + cos x) + c.

故總結出規律:“指三任(意)湊”.

反思一:求 eax cos xdx(a∈R)，解略.

反思二:求 2x cos xdx，解略.

反思三:求 ex cos(ax)dx(a∈R)，解略.

反思四:求 ex sin xdx，解略.

反思五:求 ex cosn xdx(n∈N)，解略.

分別探求(6)，(7)，(8)，(9)，(10)，都求不出結果!

3. 在 udv中，如果u = f(x)#8226;g(x)#8226;h(x)，v = x，且f(x)，g(x)，h(x)是兩兩互不相同的基本初等函數. 如何求f(x)#8226;g(x)#8226;h(x)dx呢?

由前面2中的分析可知，在冪函數#65380;指數函數#65380;對數函數#65380;三角函數#65380;反三角函數中任取3類函數構成初等函數，共有10種不同類型的表達式，經過探索計算后，得出結論:這10種不同類型的表達式當中，只有其中一種類型的表達式作為被積函數來求不定積分才是可以求出結果的，它就是 xex cos xdx.

經過復雜的運算之后，終于求出:

xex cos xdx =ex cos x +ex(x - 1)sin x + c.

【參考文獻】

[1] 馮翠蓮. (工程數學)新編經濟數學基礎. 北京:北京大學出版社，2005.

注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內容請以PDF格式閱讀原文#65377;”