數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合思想探討

【摘要】 數(shù)形結(jié)合思想是通過構(gòu)建數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，在二者的對應(yīng)和互助中，來分析研究問題并解決問題的一種思想. 常見的數(shù)形結(jié)合的途徑有三種：以形助數(shù)、以數(shù)助形和數(shù)形互助. 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合的解題方法具有直觀、靈活的特點，數(shù)形結(jié)合也是數(shù)學(xué)解題中的一種重要方法，應(yīng)用十分廣泛. 本文就數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想進行簡單的介紹和分析，并對其應(yīng)用作了研究.

【關(guān)鍵詞】 數(shù)形結(jié)合 數(shù)學(xué) 思想 解題方法

一、數(shù)形結(jié)合思想的含義

數(shù)形結(jié)合思想是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一種重要的思想方法，“數(shù)”是指數(shù)量關(guān)系，“形”是指空間形式，數(shù)形結(jié)合的基本思想是在研究問題的過程中，注意把數(shù)和形結(jié)合起來考查，或者把幾何圖形轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系問題，運用代數(shù)、三角知識進行討論；或者把數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)問題，借助幾何知識加以解決.

數(shù)形結(jié)合思想通過“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，它是數(shù)學(xué)的規(guī)律性與靈活性的有機結(jié)合. 數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合，常與以下內(nèi)容有關(guān)：① 實數(shù)與數(shù)軸上的點的對應(yīng)關(guān)系；② 函數(shù)與圖像的對應(yīng)關(guān)系；③ 曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系；④ 以幾何元素和幾何條件為背景，建立起來的概念，如復(fù)數(shù)、三角函數(shù)等；⑤ 所給的等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有明顯的幾何意義. 事實上無論要解決哪些問題，數(shù)形結(jié)合的思想始終是一種數(shù)學(xué)的綜合思想，結(jié)合了數(shù)形的各自優(yōu)勢，為實際問題和數(shù)學(xué)問題的解決提供幫助與支持.

二、數(shù)形結(jié)合思想的意義

根據(jù)對人類大腦的科研成果，人類的大腦的兩半球具有不同的功能，其中，左半腦功能偏重于抽象的邏輯思維，講究規(guī)范嚴(yán)謹(jǐn)，穩(wěn)定封閉，例如，數(shù)的運算、邏輯推理、歸納演繹等. 而人的右半腦功能則偏重于形象思維，講究直覺想象，自由發(fā)散，如猜想、假設(shè)、構(gòu)思開拓和奇異創(chuàng)造等. 左、右半腦的功能各有特征，如果互相補充就會使大腦功能更加健全和發(fā)達. 數(shù)形結(jié)合思想就同時運用了左、右半腦的功能，在解決問題的同時，能達到培養(yǎng)形象思維能力，促進人們邏輯思維能力發(fā)展的效果.數(shù)形結(jié)合思想對數(shù)學(xué)的教學(xué)和學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)都有很大的幫助.

首先，“數(shù)形結(jié)合”有助于對數(shù)學(xué)知識的記憶. 學(xué)校教育中的數(shù)學(xué)知識一般是基礎(chǔ)理論性知識，需要學(xué)生牢固地記憶并掌握這些基礎(chǔ)知識，在此基礎(chǔ)上做到靈活和創(chuàng)造性地應(yīng)用，在整個教學(xué)過程中，這二者是相輔相成的. 教學(xué)中運用形象記憶的特點，使抽象的數(shù)學(xué)盡可能地形象化，這樣對學(xué)生輸入的數(shù)學(xué)信息和映象就更加深刻，在學(xué)生的腦海中形成了數(shù)學(xué)的模型，可以形象地幫助學(xué)生理解和記憶. 例如：在研究函數(shù)時，可以利用函數(shù)圖形來記憶有關(guān)函數(shù)的知識點，像函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性、有界性以及凹凸性等.

其次，應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合”能訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺思維能力. 在數(shù)學(xué)的工作和學(xué)習(xí)中，存在著大量的直覺思維，即人們在求解數(shù)學(xué)問題時，運用已有的知識，從整體上對數(shù)學(xué)對象及其結(jié)構(gòu)迅速識別、判斷，進而作出大膽的猜想，合理的假設(shè)，并得出試探性的結(jié)論.

第三，數(shù)形結(jié)合思想有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力. 發(fā)散思維是從同一來源的材料或同一個問題中探求不同思路和方法的思維過程，其思維方向是從不同角度、不同方面看待同一個問題. 在教學(xué)中借助數(shù)形結(jié)合的形式，突出已知與未知之間的矛盾聯(lián)系，來引發(fā)學(xué)生提出新的思想、新的方法、新的問題，達到知識的融會貫通，拓展思維的廣闊性和靈活性，激勵學(xué)生的好奇心和求知欲，提高其解決問題的應(yīng)變能力.

第四，應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合”有益于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力. 目前，推行素質(zhì)教育已成為教育發(fā)展的主流. 對學(xué)生進行綜合素質(zhì)和能力的培養(yǎng)，是建立新世紀(jì)創(chuàng)造性人才隊伍的需要，是思維的最高境界. 只有具有創(chuàng)造性思維能力的人，才能在各自的領(lǐng)域中有所創(chuàng)造發(fā)明，才能推動科學(xué)技術(shù)、人類社會向前發(fā)展.

三、數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用舉例

數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用非常廣泛，尤其是在數(shù)學(xué)中函數(shù)問題的解決方面應(yīng)用較多，并以其明晰性，簡單性和直觀性等特點成為解決數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵思想.

例1 對于函數(shù)ｙ ＝ －ｘｃｏｓｘ的部分圖像是（）.

經(jīng)過對圖形的分析：可以看出這是一道以數(shù)解形的題，顯然ｙ ＝ －ｘｃｏｓｘ為奇函數(shù)，可以排除Ａ，Ｃ，取ｘ ＝ ０．１，ｙ ＝ －０．１ｃｏｓ０．１ ＜ ０，圖像在ｘ軸下方，又可以排除Ｂ，故選Ｄ．

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師也可以通過編選一些探索性的題目，讓學(xué)生去研究，去探討和發(fā)現(xiàn). 讓他們不是從頭腦中已有的思維形式和思維方法中去找答案，而是從問題的本身進行具體的分析，進行一系列探索性思維活動，將已有的思維方式大跨度地遷移，從可供選擇的途徑中篩選出解決問題的方法，從而實現(xiàn)自身認(rèn)知和思維能力的提升，這也正是數(shù)形結(jié)合思想的意義所在.

【參考文獻】

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