從連分?jǐn)?shù)到廣義斐波那契數(shù)列

形如下面(1)的式子叫做簡(jiǎn)單連分?jǐn)?shù).

1 +( a，b屬于正整數(shù))(1)

下面通過(guò)連分?jǐn)?shù)的計(jì)算，尋找連分?jǐn)?shù)和斐波那契數(shù)列之間的關(guān)系，由連分?jǐn)?shù)得到廣義斐波那契數(shù)列.

當(dāng)a = 2，b = 1時(shí)，計(jì)算(1)式每進(jìn)行一步停一步，可得

1 + =，

1 + =，

1 + =，

1 + =，

……

這些分?jǐn)?shù)計(jì)算的結(jié)果依次是 ， ， ， ，…

它們的分子分母由2，3，5，8，13，21，34，…序列組成.

從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)都是它前面兩項(xiàng)的和，例如， 5 = 2 + 3，8 = 3 + 5，等等.這些數(shù)叫做斐波那契數(shù)，以斐波那契數(shù)列而著稱(chēng).斐波那契數(shù)列最早出現(xiàn)于中世紀(jì)的意大利數(shù)學(xué)家斐波那契的《算盤(pán)書(shū)》中，是在觀察兔子繁殖問(wèn)題的基礎(chǔ)上提出來(lái)的有關(guān)0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，…的數(shù)列，其各項(xiàng)的特點(diǎn)是除前兩項(xiàng)之外每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)的和.

當(dāng)a = 3，b = 1時(shí)，同理可得

1 + =，

1 + =，

1 + =，

1 + =，

……

這些分?jǐn)?shù)計(jì)算的結(jié)果依次是 ， ， ， ，…

它們的分子分母由 序列組成3，4，7，11，18，29，47，…

從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)都是它前面兩項(xiàng)的和，例如7 = 3 + 4，11 = 4 + 7，等等.這些數(shù)叫做盧卡斯數(shù)，以盧卡斯數(shù)列而著稱(chēng).盧卡斯數(shù)列是由法國(guó)數(shù)學(xué)家盧卡斯在對(duì)斐波那契數(shù)列研究的基礎(chǔ)上發(fā)明的形如1， 3，4， 7，11，18，29，47，…的數(shù)列.

同理，當(dāng)a，b屬于正整數(shù)時(shí)，可得

1 + =，

1 + =，

1 + =，

1 + =，

……

這些分?jǐn)?shù)計(jì)算的結(jié)果依次是:

， ， ， .(2)

(2)式第二個(gè)分?jǐn)?shù)的分母是第一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子，第三個(gè)分?jǐn)?shù)的分母是第二個(gè)分?jǐn)?shù)的分子.也就是說(shuō)，從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)的分母是其前一項(xiàng)的分子，即第n + 1個(gè)分?jǐn)?shù)的分母是第n個(gè)分?jǐn)?shù)的分子( 是正整數(shù)).它們的分子分母由(3)式的正整數(shù)序列組成.并且，從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)都是它前兩項(xiàng)的和.例如:2a + b = a + (a + b)，3a + 2b = (a + b) + (2a + b)，等等.(3)式由下列(4)式和(5)式兩部分組成.

a，a + b，2a + b，3a + 2b，5a + 3b，…(3)

a，a，2a，3a，5a，8a，13a，…(4)

0，b，b，2b，3b，5b，8b，13b，…(5)

(4)式中a的系數(shù)為1，1，2，3，5，8，13，21，34，…

(4) 式遞推公式為

Fn = n -n，其中n ≥ 1.

(5) 式中b的系數(shù)為0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，…

(5) 式遞推公式為

Fn = n-1 -n-1，其中n ≥ 1.

(4) 式+(5)式，可得(2)式的遞推公式為

Fn = n -n+

n-1 -n-1，其中n ≥ 1.

形如上式(1)的連分?jǐn)?shù)，把其計(jì)算每進(jìn)行一步停一步，其結(jié)果都可以化為上述(2)式的形式，其分子分母組成的序列形如(3)式，從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)都是它前兩項(xiàng)的和，符合廣義斐波那契數(shù)列的要求. 廣義斐波那契數(shù)列是指一個(gè)數(shù)列從第三項(xiàng)開(kāi)始，每一項(xiàng)都等于它前兩項(xiàng)的和的數(shù)列.斐波那契數(shù)列和盧卡斯數(shù)列也屬于廣義斐波那契數(shù)列的范疇.

可見(jiàn)，廣義斐波那契數(shù)列可以通過(guò)連分?jǐn)?shù)得到.把(1)式的連分?jǐn)?shù)每進(jìn)行一步停一步，所得各個(gè)分?jǐn)?shù)的分子分母是廣義斐波那契數(shù)，其序列是廣義斐波那契數(shù)列.即當(dāng)a = 2，b = 1時(shí)，可以得到斐波那契數(shù)列;當(dāng)a = 3，b = 1時(shí)，可以得到盧卡斯數(shù)列;當(dāng)a，b取其他正整數(shù)時(shí)，可以得到廣義斐波那契數(shù)列.

注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文#65377;”