幾類分配問題的數(shù)學(xué)分析

【摘要】 討論兩類常見的分配問題，用數(shù)學(xué)工具尋求如何使分配做到最公平的解法.

【關(guān)鍵詞】 分配問題 比例方法 Q值方法 不公平度

在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)條件下，在高效的管理環(huán)境中，如何進(jìn)行資源以及權(quán)利義務(wù)的分配是一件關(guān)系到各方利益的大事. 根據(jù)分配時(shí)的已知條件，我們可以將其大致分為兩種類型.

第一類:比例已定的分配 . 所謂比例已定是指權(quán)利或義務(wù)的總量一定，分配比例一定. 如高校管理中的期末考試監(jiān)考名額的分配，教代會(huì)各系代表名額的分配等. 對(duì)此情況如何使分配做到公平，是管理人員必須考慮的問題. 根據(jù)實(shí)際意義，由于名額的分配必須是整數(shù)，所以我們只能做到盡量公平. 對(duì)于分配結(jié)果沒有實(shí)際意義限制的情況，直接應(yīng)用比例分配方法即可，在此不加說明.

現(xiàn)以我院教代會(huì)各系代表名額的分配為例:我院有五個(gè)系一個(gè)基礎(chǔ)部共180名老師(詳細(xì)數(shù)據(jù)如下表)，要從中選出49名教師參加教代會(huì). 工會(huì)如何分配該名額最公平?如果在選舉過程中新增2個(gè)代表名額，該名額又該如何分配?

1. 比例方法

(以上數(shù)據(jù)的計(jì)算采用四舍五入)

以上分配采用了習(xí)慣性的做法，用分配名額乘以比例然后四舍五入處理. 但是這種分配方法公平嗎?由上表觀察發(fā)現(xiàn)基礎(chǔ)部比環(huán)資系只多2名教師卻多分配了1個(gè)代表名額，顯然不公平(平均每3.67個(gè)教師分到1個(gè)名額). 當(dāng)名額略有增加的時(shí)候，我們發(fā)現(xiàn)增加的名額卻給了生物和環(huán)資系，為研究其中的奧妙，我們舍棄慣例，決定建立一個(gè)數(shù)量指標(biāo)用來衡量分配是否公平. 方法如下:

假設(shè)現(xiàn)有A，B兩方參與名額的分配，A，B兩方的人數(shù)分別記為p1，p2，最終分得的名額分別記為n1，n2(只能取整). 列表如下:

當(dāng)= 時(shí)，表示分配是公平的，也是人們所期望的(當(dāng)結(jié)果沒有實(shí)際限制時(shí)，滿足此原則即可).

當(dāng)>時(shí)，表示對(duì)A是不公平的. 不妨將-稱為對(duì)A的絕對(duì)不公平度，例如:p1 = 150，n1 =10， = 15 ; p2 = 100， n2 = 10，= 10時(shí)，對(duì)A的絕對(duì)不公平度- = 5. 有了這個(gè)數(shù)量指標(biāo)后我們可以計(jì)算各系之間的絕對(duì)不公平度，來比較相互之間的不公平情況.

如下表(計(jì)算結(jié)果放大了1000倍)

若教師數(shù)量增加，而代表名額沒有發(fā)生變化時(shí)，例如:p1 = 1050，n1 = 10，= 105; p2=1000， n2= 10，= 100時(shí)，對(duì)A的絕對(duì)不公平度- = 5.

上述兩種情況下絕對(duì)不公平度的計(jì)算結(jié)果相同，但我們思考后發(fā)現(xiàn)后者對(duì)A的不公平已經(jīng)大大降低!<. 盡管如此，我們還是希望能夠更精確地衡量不公平度. 由此我們將絕對(duì)度量改為相對(duì)度量，方法如下:

若>，定義= rA(n1，n2)為對(duì)A的相對(duì)不公平度，類似可以定義= rB(n1，n2). 而公平的分配方案應(yīng)使rA，rB盡量小.

2. Q值方法

有的時(shí)候由于某種原因需要增加代表名額，我們需重新調(diào)整分配結(jié)果. 此時(shí)上述分配方案就由一次性的靜態(tài)分配轉(zhuǎn)化為了動(dòng)態(tài)的分配.

即假設(shè)A，B已分別有n1，n2個(gè)名額，若再增加一個(gè)名額，問應(yīng)分給A，還是B?

不妨設(shè)>，即對(duì)A不公平.

討論以下幾種情況:

(1) 若> ，則這席應(yīng)該給A.

(2) 若<，則應(yīng)計(jì)算rB(n1 + 1，n2)和 rA(n1 ，n2+ 1).

(3) 根據(jù)初始條件>， >恒成立，所以增加的這席仍應(yīng)給A( >不會(huì)出現(xiàn)).

若 rB(n1 + 1，n2)< rA(n1 ，n2+ 1) ，則這席應(yīng)給A，反之，給B.

由rA，rB 的定義，得<.

定義Qi =，i = 1，2，則該增加的一個(gè)名額給Q值較大的一方推廣到m方進(jìn)行名額分配，設(shè)i方人數(shù)為pi，名額為ni，若增加1個(gè)名額計(jì)算Qi =，i = 1，2，…，m，該名額應(yīng)分配給Q值最大的一方.

第二類:比例未知的分配.

首先來看一個(gè)例子:甲#65380;乙兩人以6元錢做賭注進(jìn)行博弈，相約誰先贏滿3局，誰就獲得全部的賭注. 甲#65380;乙實(shí)力相當(dāng)，每一局都有同等的獲勝概率，當(dāng)進(jìn)行了3局后，甲勝2局，乙勝1局，后因故兩人終止對(duì)局，該6元的賭注如何分配才合理?

此類問題在日常生活中也十分常見，已知的對(duì)局結(jié)果顯然對(duì)甲有利，所以甲理應(yīng)多分一些才公平，但具體比例是多少呢?數(shù)學(xué)家帕斯卡給出了如下的合理分配方法:

考慮到這場(chǎng)賭注至多再進(jìn)行2局就可見分曉，而這2次中，可能出現(xiàn)4種不同的結(jié)果

在前面已經(jīng)進(jìn)行了3局的基礎(chǔ)上，后面4種結(jié)果中前3種情況甲都贏得全部賭注，僅僅在第4種情況出現(xiàn)時(shí)，乙才贏得全部賭注，所以分配的比例應(yīng)該是3:1才公平. 此種考慮個(gè)人最終期望所得進(jìn)行分配的結(jié)果才是比較公平的結(jié)果.

綜上所述，在我們的管理中對(duì)分配問題可不能含糊. 對(duì)于已知比例的分配要說明的是分配情況不同，所謂的不公平度也有不同的含義，對(duì)于權(quán)利的分配，當(dāng)然希望自己分配的權(quán)利越多越好，比如代表名額的分配;而義務(wù)的分配則希望是分配的義務(wù)越少越好，比如監(jiān)考名額的分配. 所以此時(shí)的絕對(duì)不公平度是一個(gè)相對(duì)的概念. 而對(duì)于未知比例的分配更是要開通腦筋，找出最公平的分配方法.

注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文#65377;”