在旋轉、平移中探索規律

隨著課程改革的推進，中考數學試題也表現出許多新的變化. 幾何題的難度有了明顯下降，不再是繁瑣的高難度證明題，而是考查學生對幾何圖形的認識理解#65380;動手操作#65380;合情猜想以及基本的邏輯推理能力，在圖形的旋轉#65380;平移中去發現數學規律.

一#65380;在旋轉中探索規律

例1 (2008年遵義市)在矩形ABCD中AD = 2AB，E是AD的中點，一塊三角板的直角頂點與點E重合，將三角板繞點E按順時針方向旋轉，當三角板的兩直角邊與AB，BC分別交于M，N時，觀察或測量BM與CN的長度，你能得出什么結論?并證明你的結論.

解題思路 過點E作EF⊥BC于F，因為ABCD是矩形，且AD = 2AB，E為AD的中點，所以有ABFE，CDEF是正方形，由旋轉中根據其圖形具有的對稱性，可判斷BM = CN. 再證明△AME≌△FNE，即可推出BM = CN.

評析 試題設置了讓學生通過觀察或測量BM與CN的長度，進而得出結論:BM = CN. 此題既考查了學生操作動手的能力，在實踐中通過觀察得出合情結論，再進行邏輯推理論證，進而培養了學生的推理論證能力，體現了《數學課程標準》的理念. 在教學中教師應滲透課改理念，把握中考命題方向，使課堂教學效率進一步提高.

例2 (2004年遵義市)如圖，用兩張寬都是2 cm的矩形紙條交叉重疊在一起，重疊部分構成一個四邊形ABCD.

(1) 四邊形ABCD是什么四邊形?試證明你的結論;

(2) 當旋轉兩張紙條，使∠BAD在0°~180°內逐漸變大時，四邊形ABCD的面積將怎樣變化?

解題思路 由于是兩張寬為2 cm的矩形紙片重疊在一起，因此有AB∥CD，AD∥BC，所以首先可以判斷ABCD是平行四邊形.由于兩張矩形紙片的寬度都是2 cm，過D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，則DE = DF，進而可證△ADE≌△CDF，所以AD = DC，所以ABCD是菱形. 顯然，當旋轉紙片時，在∠BAD = 90°時，ABCD為正方形，此時ABCD的面積最小為4 cm2，由此可知∠BAD在0°~180°變化時，ABCD的面積的變化是由大到小，然后又逐漸增大.

評析 本題考查了學生的判斷能力#65380;動手能力和邏輯推理能力. 通過圖形的變化了解圖形的形狀及面積的變化規律. 第(2)問還考查了分類討論思想，該題題設背景簡明，在圖形的旋轉過程中培養了學生的合情猜想能力及解決幾何問題的綜合能力.

例3 (2007年臨沂市)如圖1，已知△ABC中，AB = BC = 1，∠ABC = 90°，把一塊含30°角的直角三角板DEF的直角頂點D放在AC的中點上(直角三角板的短直角邊為DE，長直角邊為DF)，將直角三角板DEF繞D點按順時針方向旋轉.

(1) 在圖1中，DE交AB于M，DF交BC于N.

① 證明:DM = DN;

② 在這一旋轉過程中，直角三角板DEF與△ABC的重疊部分為四邊形DMBN，請說明四邊形DMBN的面積是否發生變化?若發生變化，請說明是如何變化的?若不發生變化，求出其面積;

(2) 繼續旋轉至如圖2的位置，延長AB交DE于M，延長BC交DF于N，DM = DN是否仍然成立?若成立，請給出證明;若不成立，請說明理由;

(3) 繼續旋轉至如圖3的位置，延長FD交BC于N，延長ED交AB于M，DM = DN是否仍然成立?請寫出結論，不用證明.

解題思路 (1)① 連接BD，可證△BMD≌△CND，所以DM = DN;②由①知:△BMD ≌ △CND，所以S△BMD = S△CND，可得S四邊形DMBN =，所以DMBN的面積不發生變化. (2)DM=DN仍然成立. (證明略)(3)DM = DN仍然成立 .

評析 此時在旋轉過程中，通過觀察#65380;分析#65380;論證，得出并證明了兩個不變:(1)四邊形DMBN的面積始終等于 ，保持不變;(2)DM與DN相等.

二#65380;在平移中探索規律

例4 (2008年遵義市)如圖(1)所示，一張平行四邊紙片ABCD，AB = 10，AD = 6，BD = 8， 沿對角線BD把這張紙剪成△AB1D1和△CB2D2 兩個三角形(如圖(2)所示). 將△AB1D1沿直線AB1方向平移(點B2始終在AB1上，AB1與CD2始終保持平行)，當點A與B2重合時停止平移. 在平移過程中，AD1與B2D2交于點E，BC2與B1D1交于點F .

(1)當△AB1D1平移到圖(3)的位置時，試判斷四邊形B2FD1E是什么四邊形?并證明你的結論;

(2) 設平移距離BB2為x，四邊形B2FD1E的面積為y，求y與x的函數關系式;并求四邊形B2FD1E的面積的最大值;

(3) 連接B1C(請在圖(3)中畫出)，當平移距離B2B1的值是多少時， △B2B1F與△B1CF相似?

解題思路 (1)由AB = 10，AD = 6，BD = 8，知△ABD是直角三角形，根據平移性質知四邊形B2FD1E是矩形;(2)由三角形相似的性質可得函數解析式為y = - x2 +x(0 ≤ x ≤ 10)，當x = 5時，y有最大值12，即四邊形B2FD1E面積最大值為12. (3) 分兩種情況:①當∠B2B1F = ∠B1CF時，△B2F B1 ∽ △B1FC，可得x = ;② 當∠B1 B2F = ∠B1CF時，△B2F B1∽△CF B1，(此時兩個三角形全等)，可得x = 5，所以平移距離為 或5時兩個三角形相似.

評析 本題考查學生通過圖形的變化了解圖形的形狀及面積的變化規律. 第3問還考查了分類討論思想，該題題設背景簡明，在圖形的平移過程中培養了學生的合情猜想能力及解決幾何問題的綜合能力.

總之，從以上幾例中我們看到，中考幾何試題的難度已明顯下降，更側重于考查學生們對圖形的認識，對數學規律的探索與發現，培養基本的邏輯推理能力. 在變化中發現問題，在探索中尋求規律，這是我們在學習數學中應關注的問題.

注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內容請以PDF格式閱讀原文#65377;”