多姿多彩的遞推式ａ_ｎ＝ｐ（ｎ）ａ_ｎ－１＋ｑ（ｎ）

研究數列{an}的一種遞推關系式an = p(n)an-1 + q(n)，對于我們解決有關求數列通項an的問題大有裨益.

一#65380;當p(n)為1時

由an - an-1 = q(n)，通過累加可得an = a1 + q(2) + q(3) + … + q(n)，如a1 = 1，an = an-1 +(n ≥ 2)，可得an =.

特別地，當q(n)為常數q時，數列{an}是公差為q的等差數列.

二#65380;當q(n)為0時

由= p(n)，通過累乘可得an = a1p(2)p(3)…p(n)，如a1 = 1，an+1 = 2nan，可得an = 2 .

特別地，當p(n)為非零常數p時，數列{an}是公比為p的等比數列.

三#65380;當p(n)為非1的常數時

1. 當p(n)≠1且q(n)≠0的常數時

例 1 已知數列{an}滿足Sn = 2an - n，求an .

解析 ∵ Sn = 2an - n，①

∴ Sn-1 = 2an-1 - (n - 1)(n ≥ 2). ②

由① - ②，得an = 2an-1 + 1. ③

策略1 ③ 可轉化為an + 1 = 2(an-1 + 1)(n ≥ 2)，可知數列{an + 1}是以2為公比的等比數列，∴ an + 1 = (a1 + 1)#8226;2n-1，an = 2n - 1 .

策略2 由③得an + 1 = 2an + 1，④

④ - ③，得an + 1 - an = 2(an - an-1)，

可知數列{an - an-1}是以2為公比的等比數列，

∴ an - an-1 = (a2 - a1)2n-1 = 2n-1(∵ a1 = 1，a2 = 3). ⑤

聯立③#65380;⑤得an = 2n-1.

策略3 由③得- =n(注:等式兩邊同除以pn，這是一種通解)，

∴累加得an = 2n 1 +2 + … +n = 2n - 1 .

策略4 列舉#65380;觀察#65380;歸納#65380;證明(此略).

有意思的是，下列問題也可化歸為上述情形:

(1) x1 =且xn+1 =，可化歸為=#8226;+ ，求xn.

(2) a1 =且an+1 = 2an3，可化歸為lg an+1=3lg an + lg 2，求an.

2. 當p(n) ≠ 1的常數，q(n)為關于n的一次式時

例2 (同例 1)

策略5 由Sn = 2an - n，保“Sn”去掉“an”，得

Sn = 2(Sn - Sn-1) - n，即Sn - 2Sn-1 + n.

設 Sn - (kn + m) = 2[Sn-1 - (k(n - 1) + m] ，待定系數得k = -1，m = -2，可知數列{Sn + n + 2}是以2為公比的等比數列，

∴ Sn + n + 2 = (S1 + 1 + 2)#8226;2n-1，Sn = 2n+1 - n - 2，

∴ an = = 2n - 1.

策略6 或轉化為- =，再求出Sn .

3. 當p(n)≠1的常數，q(n)為關于n 的指數式時

例3 (2006年全國卷Ⅲ)已知數列{an}滿足a1 = 2，an = 4an - 1 + 2n，求an.

解析 策略1 設an - λ2n = 4(an-1 - λ2n-1)，待定系數得λ = -1，可知數列{an + 2n}是以4為公比的等比數列，∴ an + 2n = (a1 + 21)#8226;4n-1，an = 4n - 2n .

策略2 轉化為- =n，

∴累加得 an = 4n 1 +2 + … +n =4n - 2n.

策略3 由- =n，還可進一步轉化為-n = -n-1，得-n為常數數列，∴ an = 4n - 2n.

可見，當p(n)為不等于1的常數，q(n)是非零常數或是關于n 的代數式時，常可通過待定系數轉化得到一個等比或等差數列.

四#65380;拓展應用:幾道高考題的新證與別解

例1 (2005年江蘇卷)設數列{an}的前n項和為Sn，已知a1 = 1，且(5n - 8)Sn+1 - (5n + 2)Sn = -20n - 8.證明:數列{an}為等差數列(略去其他設問).

證 ∵ (5n - 8)Sn+1 - (5n + 2)Sn = -20n - 8， ①

∴ (5n - 13)Sn - (5n - 3)Sn-1 = -20(n - 1) - 28(n ≥ 2). ②

① - ②得5nan+1 - 5nan - 8an+1 + 3an = -20，

即(5n - 8)an+1 - (5n - 3)an = -20，

∴- = =

-4-(n ≥ 2).

從而有 - =

-4- + - +…+ - = -4-.

由已知a2 = 6，得an = 5n - 4(n ≥ 2).

又a1 = 1，故an = 5n - 4，數列{an}為等差數列.

注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內容請以PDF格式閱讀原文#65377;”