一類邊界的完全非線性拋物型方程組的比較原理

【摘要】 這篇文章我們考慮了非線性拋物型微分方程組問題在非局部邊界條件的解的比較性原理，在對解假設存在的情況下，對完全非線性的拋物型方程組的非局部問題進行唯一性的探討. 本文主要應用了上下解的方法對一般的非線性拋物型微分方程組非局部問題進行了分析，并在滿足一定的條件下得出了解的唯一性. 在這篇文章中，我們建立了一類完全非局部邊界問題非線性拋物型方程組的一般的比較的原理.

一#65380;介紹

設Ω?奐Rn，n ≥ 1是一個具有邊界?墜Ω的有界區域，并設DM = (0，M) × Ω，SM = (0，M) × ?墜Ω(M是大于零的任意常數).

非局部問題的非線性方程組:= fi(t，x，uui， 2ui).在DM中Biui =Kij(x，y)uj(t，y)dy + hi(x);

在SM上 (1.1)ui(0，x) = ui0(x);

在 Ω上(i = 1，…，N)，這里 u = (u1，…，uN)， ui和 2ui分別是ui的梯度和 ui關于空間變量的Hessian矩陣，對每個i = 1，…，N，fi∈C[DM × RN × Rn × Rn ，R]，Bi = αi(x)+ 1(αi(x) ≥ 0)，其中 是?墜Ω的外法方向導數，假如對每個i = 1，…，N，f是在DM 中的橢圓算子(可以看下面的定義).

在以前的對上面方程的研究中，都只是在Kij > 0， Kij(x，y)dx ≤ 1的條件下給出的比較原理[1]，最近的 Rong-Nian Wang等就這些條件下的問題，得到了比較好的結果.

基于上面的所做的工作，我們今天給出更廣泛的Kij條件下的非線性拋物型方程組的比較原理. 我們把上面的在SM上的變為:

Biui =Ki(t，x，y，u )dy + hi(x)[2].

二#65380;有關的結果和證明

我們先令f(t，x，u) = (f1(t，x，u， u1， 2u1)，…，fN(t，x，u， uN， 2uN)).

S = S11…S1n┆┆Sn1…Snn T = T11…T1n┆┆Tn1…Tnn

定義2.1 向量函數f(t，x，u)在(t1，x1)是橢圓的(對任意的i = 1，…，N)，函數fi∈C[DM × RN × Rn × Rn ，R]是在點(t1，x1)橢圓的，即是對任意的u，p，Sjk，Tjk(j，k = 1，…，n)滿足若有不等式 (Sjk - Tjk)λiλk ≤ 0對任意的λ∈Rn成立，則可以得到fi(t1，x1，u，p，S) ≤ fi(t1，x1，u，p，T);假如對每個f(t，x，u)在每個(t，x)∈DM都是橢圓的，那么則稱f(t，x，u)在DM是橢圓的[3] .

定義 2.2 一向量函數f(t，x，u)是擬單調不減的，假如對每個i = 1，…，N，我們把 u寫成 u= (ui，[u]N-1)， fi(t，x，ui，[u]N-1， ui， 2ui)是關于[u]N-1的不減的函數.

通過上面的定義，為了得到我們的比較原理，我們來作相應的假設:

(H1)向量函數f(t，x，u)在DM中是橢圓的，且對給定的RN子集向量函數是擬單調不減的.

(H2)若 u= (u1，…，un)，v = (v1，…，vn)，ui ≥ vi (i = 1，…，N)，則稱 u ≥ v.

Ki(t，x，y，u) - Ki(t，x，y，v)≥ Lij(t，x，y)(uj - vj)，(u ≥ v)，Lij(t，x，y) > 0，((t，x)∈SM，y∈Ω)[2].

(H3)對每個i = 1，…，N，fi滿足一邊的 Lipschitz 條件:

fi(t，x，u，p，S) - fi(t，x，v，p，S)≤Ni (ui - vi)，(u ≥ v)其中Ni > 0 [4].

引理2.3 假設H1，H2成立，u， v∈(C1，2(DM)∩CM0，1(D))滿足下列的方程:

uit ≤ fi(t，x，u， ui， 2ui)，(t，x)∈DM .

uit > fi(t，x，v， vi， 2vi)，(t，x)∈DM .

Biui ≤Ki(t，x，y，u)dy + hi(x)，(t，x)∈SM.(2.3)

Bivi ≤Ki(t，x，y，v)dy + hi(x)，(t，x)∈SM.

ui(0，x) < vi(0，x)，x∈Ω (i = 1，…，N ).

則得到在DM上有u(t，x) < v(t，x).

證明 令w(t，x) = (w1(t，x)，…，wN(t，x)).

對每個i = 1，…，N，wi(t，x) = ui(t，x) - vi(t，x)，則我們得到如下的方程組:

wit < fi(t，x，u， ui， 2ui)- fi(t，x，v， vi， 2vi)，(t，x)∈DM.

Biwi≤ Ki(t，x，y，u) - Ki(t，x，y，v)dy，(t，x)∈DM .wi(0，x) < 0，x∈Ω，i = 1，…，N.

由于(0，x) < 0 (x∈Ω)，根據連續性，存在一個?墜 > 0，對任意的0 ≤ t ≤ δ和x∈Ω有(0，x) < 0.

設?祝 = {t;t≤M，w(s，x) < 0對所有的0 ≤ s ≤ t及x∈Ω}，由此必存在t1 = sup?祝和 0 < t1 ≤ M. 因此在D 上有 w(t，x) ≤ 0.

假設在DM上 w(t，x) ≤ 0不正確，則必存在x1∈Ω和wk(t，x)滿足在[0，t1)上wk(t，k) < 0，而wk(t1，x1) = 0.這就是說t1是wk(t，x)在某一點x1∈Ω第一次達到零. 因此在D 上在點(t1，x1)處wi(t，x)獲得到了最大值. 我們先來證明(t1，x1)?埸DM.

如果(t1，x1)∈DM，可以得到 (t1，x1)≥0， (t1，x1) = 0，(t1，x1)λi λj≤0，?坌λ = (λ1，…，λn)∈Rn.

我們應用f(t，x，u)的擬單調不減的性質和它的橢圓性質，可以得到:

0 ≤ (t1，x1)

這樣就得出了矛盾. 因此我們可以得到在DM中有 (t，x) < 0.

現在來證明(t1，x1)?埸SM，要不然，當αk =0時，

0 = wk(t1，x1)≤ (Kk(t，x，y，u) - Kk(t，x，y，v)dy≤ Lkj(t，x，y)(uj - vj)dy < 0.

這樣就得出了矛盾. 而當αk > 0時，可以得到wk(t1，x1) = max - wk(t，x)，wk(t，x) < 0 = wk(t1，x1) 在D 中，那這樣用方向導數的定義就可得到 (t1，x1) ≥ 0 ，于是0 ≤ (t1，x1) + wk(t1，x1) ≤ (Kk(t，x，y，u) - Kk(t，x，y，v)dy≤ Lkj(t，x，y)(uj - vj)dy < 0.

這樣又得出了矛盾，就證明了在DM上有 (t，x) < 0，此命題得證[5].

為了更進一步地得到比較原理，需添加一些條件和假設.

定義2.4 一向量函數u = (u1，…，uN)∈C1，2(DM)∩C(DM)叫做方程組1.1在DM的上解. 如果u滿足:

≥fi(t，x，u， ui， 2ui)在DM中;

Biui ≥ Ki(t，x，y，u)dy + hi(x)在SM上;

ui(0，x) ≥ ui0(x) 在Ω上(i = 1，…，N)，

下解可以相似地定義，只要把不等號“≥”換成“≤”即可.

(H4)Ki(t，x，y，u) - Ki(t，x，y，v) ≤

Lkj(t，x，y)(uj - vj)，(u ≥ v).

Lkj(t，x，y) > 0， Lkj(t，x，y) ≤ 1.

定理2.5 若假設H1，H2，H3，H4均成立，u，v分別是1.1的上解和下解，且u(0，x) ≤ v(0，x)(x∈Ω)，那么在DM上有 u(t，x) ≤ v(t，x).

證明 為了應用上面的引理，先令z() = (e ，…，e ).

這里我們選擇γ，ci均為正數(i = 1，…，N)，并且滿足c1N1 = c2N2 = … = cNNN，γci > 1，對很小的ξ > 0，先來看w = v + ξz. 用fi的一邊利普希茨條件，我們有:wit = vit + ξzit ≥ fi(t，x，v， vi， 2vi) + γξci NNie≥

fi(t，x，w， vi， 2vi) - ξNi e + γξci NNie=

fi(t，x，w， vi， 2vi) - ξNNie + γξci NNie >

fi(t，x，w， vi， 2vi) =

fi(t，x，w， vi， 2vi)在DM中，(i = 1，…，N).

并對每個i = 1，…，N有vi(0，x) < wi(0，x)，?坌x∈Ω.

通過假設H4，有

Biwi = αi (t，x) + wi(t，x)≥ Ki(t，x，y，v)dy +ξe+ hi(x) ≥ Ki(t，x，y，v)dy + Lij(t，x，y)#8226;ξe dy + hi(x) ≥ Ki(t，x，y，w)dy + hi(x)

這就是說 w，u滿足不等式組(2.3)，因此由上面的引理2.3，我們可以得到 u < w在DM中，令ξ→0，得到 u≤ v.

推論2.6 假如H1，H2，H3，H4成立，并且(1.1)有解，那么方程組(1.1)的解唯一.

【參考文獻】

[1]H-M. Yin， 2004， “On a class of parabolic equations with nonlocal boundary conditions，” Journal of Mathematical Analysis and Applications， vol. 294， no. 2， pp. 712-728.

[2]Yuandi Wang and Hamdi Zorgati， 2007， “On Comparison Principles for Parabolic Equations with Nonlocal Boundary Conditions”，Boundary Value problems，Volume 2007，Article ID 80929，10 pages.

[3]R.-N. Wang， T.-J. Xiao， and J. Liang， 2006，“A comparison principle for nonlocal coupled systems of fully nonlinear parabolic equations，”Applied Mathematics Letters， vol. 19， no. 11， pp. 1272-1277.

[4]C.V. Pao，1997， “Dynamics of weakly coupled parabolic systems with nonlocal boundary conditions， Advances in Nonlinear Dynamics”，Stability Control Theory Methods Appl. vol. 5， Gordon and Breach， Amsterdam (1997)， pp. 319-327.

[5]C.V. Pao，1995， “Dynamics of reaction-diffusion equations with nonlocal boundary conditions”， Quart. Appl. Math. 50 (1995)， pp. 173-186.

[6]Y. F. Yin，1994， “On nonlinear parabolic equations with nonlocal boundary condition，” Journal of Mathematical Analysis and Applications， vol. 185， no. 1， pp. 161-174.

[7]S. Carl and V. Lakshmikantham，2002， “Generalized quasilinearization method for reaction-diffusion equations under nonlinear and nonlocal flux conditions”， J. Math. Anal. Appl. 271 (2002)， pp. 182-205.

[8]S. Seo，2000， “Global existence and decreasing property of boundary values of solutions to parabolic equations with nonlocal boundary conditions”， Pacific. J. Math. 193 (2000)， pp. 219-226.

[9]W.A.Day，1982， “Extension of a property of the heat equation to linear thermoelasticity and other theories”， Quart. Appl. Math.， 40(1982)， 319-330.

注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內容請以PDF格式閱讀原文#65377;”