《幾何畫板》在研究二次函數閉區間最值中的應用

“函數”是中學數學中最基本#65380;最重要的概念，它的概念和思維方法滲透在高中數學的各個部分;同時，函數是以運動變化的觀點對現實世界數量關系的一種刻畫，這又決定了它是對學生進行素質教育的重要材料. 就如華羅庚所說:“數缺形少直觀，形缺數難入微”. 為了解決數形結合的問題，在有關函數的傳統教學中多以教師手工繪圖為主，但手工繪圖有不精確#65380;速度慢的弊端，更主要的是圖像畫到黑板上是固定的，不能夠動態地體現出函數變量之間的變化關系;應用《幾何畫板》快速直觀地顯示及變化功能則可以克服上述弊端，大大提高課堂效率，進而起到事倍功半的效果.

二次函數在給定區間上的最值問題是一個綜合性很強的問題，也是高考命題的熱點問題. 下面就通過具體的一個實例了解一下《幾何畫板》在研究二次函數閉區間最值中的應用

題目 利用《幾何畫板》研究二次函數f(x) =+mx + + 1在閉區間[2，4]的最大值和最小值.

1. 打開幾何畫板，構造x軸上的點m，并度量其橫坐標m .

2. 從“圖表”中選擇“繪制新函數”，畫二次函數f(x) =+mx + + 1的圖像，如圖1.

3. 作出閉區間[2，4]上的二次函數圖像:在x 軸上取定點(2，0)#65380;(4，0)，用“作圖”菜單中的線段將(2，0)#65380;(4，0)連成線段，接著在線段上取活動點并度量其橫坐標，表示自變量x，利用度量菜單中的計算功能計算出 f(x) =+mx + + 1的值，用幾何畫板的繪制點的功能繪制點(x，y)，最后用作圖菜單中的“軌跡”，便可得到二次函數f(x) =+mx + + 1在閉區間[2，4]上的圖像，如圖2.

4. 拖動點m，觀察二次函數f(x) =+mx + + 1在閉區間上的最大值和最小值.

(1) m ≥ -2時，最大f(4)，最小f(2)，如圖3.

(2) -3 ≤ m < -2時，最大f(4)，最小f(-m)，如圖4.

圖 4

(3) -4 ≤ m < -3時，最大f(2)，最小f(-m)，如圖5.

圖 5

(4) m < -4時，最大f(2)，最小f(4)，如圖6.

圖 6

5. 思考:如果不是幾何畫板幫助我們研究出這些數字，我們從函數解析式中怎樣得到呢?

引導學生通過“計算(一些)關鍵點(區間端點和中點)進行分類討論，這就是數輔之以形則直觀，而形離不開數的道理. ”

注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內容請以PDF格式閱讀原文#65377;”