對一道數學趣題解答的剖析與思考

1. 一道數學趣題及其常見解答

有一道數學趣題，流傳著許多種版本，大量出現在小學教材和課外讀物里[1-4].現以上海版六年級《數學》課本中的一道習題[5]為例展開討論.

古印度有一位老人，臨終前留下遺囑，要把11頭牛分給三個兒子，老大分得總數的 ，老二分得總數的，老三分得總數的 .按印度的教規，牛被視為神靈，不能宰殺，只能整頭分.三兄弟為此一籌莫展，你能幫助他們解決問題嗎?

據說，在場的一位智叟巧妙地解決了這個難題. 他先借給他們1頭牛，使牛的總數變成12頭，然后三兄弟按遺囑中的比例各分得6頭#65380;3頭和2頭;最后，剩下1頭，又還給智叟.從而，問題得到解決，且皆大歡喜. 在此方案的啟發下，人們想出了許多種解答方法.常見的有:

(1) 借一法:先借1頭，使牛的總數變成12.三兄弟各分得總數12的 ， ， ，即6頭#65380;3頭和2頭.最后剩下1頭，物歸原主.這樣，問題得解. [6-18]

(2) 級數法:因三兄弟的總份額為 + + = ，故老大第一次從總數11中分得× 11后，第二次可從總剩余量 中，分得×. 照此一直分下去，老大分得的總頭數為= 6.同理，老二#65380;老三分得的總頭數各為3和2.嚴格按遺囑份額要求，11頭被整分完.問題得解.[7，9]

(3) 連比法:因 ∶ ∶= 6 ∶ 3 ∶ 2 ，且6 + 3 + 2 = 11，故三兄弟各分得6頭#65380;3頭和2頭.按遺囑比例要求，11頭被整分完.問題得解.[11-15]

(4) 方程法:設老大分得x頭，則老二和老三各分得 頭和 頭.依題意得方程:x + + = 11，解之得x = 6.故三兄弟各分得6頭#65380;3頭和2頭.按遺囑比例要求，11頭被整分完.問題得解.[10]

(5) 舍入法:因 ≈6， ≈3， ≈2，且6 + 3 + 2 = 11，故三兄弟各分得6頭#65380;3頭和2頭.近似按遺囑比例要求，11頭被整分完.問題得解. [15]

但也有人認為這是一道錯題，無法解.

(6) 歸錯法:既要求三兄弟各分得總數的， ， 又要求整分11，這無法實現.所以，此為錯題，無法解.[19] 還有人認為此題自相矛盾，故無解.

(7) 矛盾法:因+ + = < 1，且總數11為素數，若按遺囑要求，則11既不能被分盡，又不能被整分，故遺囑內容自相矛盾，要求無法滿足.本題無解.[5，20]

然而，這是錯題嗎?若否，又是否有解?若有，又該怎樣解呢?

2. 對常見解答的剖析

法(1)似乎既巧妙又合理，但其中的推理存在邏輯漏洞.因為實際是以12而非遺囑要求的11為總數進行分配的，故推理有漏洞.但這是否也說明智叟的解決方案有問題呢?本問題留在3.2節回答.

法(2)巧妙利用極限思想，既是一次次嚴格按遺囑份額分配，又恰將11頭整分，似無毛病，但也有漏洞.問題就出在“一次又一次地分割”，因遺囑沒說“一次不能分盡，可再分”.

法(3)似乎既精巧又無懈可擊，但仍有漏洞.因“ ∶ ∶= 6 ∶ 3 ∶ 2且6 + 3 + 2 = 11 ”表示“按 ∶ ∶ 的比例把11頭牛分完”，但遺囑要求的是分別把總數11頭牛的 ， ， 分給三兄弟.當且僅當幾個正分數的和為1時，這兩種分法才等價.這里的 + +=≠1，故兩者不等價，所以，法(3)仍有漏洞.

法(4)雖巧妙利用了方程思想，但還是有漏洞.問題就出在“依題意得方程”，因方程并不合題意.錯誤的實質與法(3)同，即當且僅當幾個正分數的和為1時，方程才符合題意.故法(4)還是有漏洞.

法(5)似乎顯得荒誕，但它或許蘊涵著某種重要的解題思想.

法(6)顯然不對.一方面，這是生活中可能出現的實際問題;另一方面，題中矛盾并非設計者考慮不周所致，而是為考驗解答者智慧所精心設置的.故本題并非錯題，而是匠心獨運的好題.

法(7)似乎是唯一正確的解答，但本問題真的無解嗎?下面我們來作進一步討論.

盡管解答(7)已由 非整數，否定了嚴格滿足本題條件的整數解不存在，即認為無解，但這并未解決問題，因為我們所面臨的是分牛的現實問題.這里的“無解”既未告訴人們是否應該分牛，又未指出“若分，又該怎么分;若不分，又將怎么辦” .所以，解答(7)實際上并未解決分牛糾紛.為什么會出現這樣的尷尬，我們又該怎樣解決這一矛盾呢?為此，我們嘗試用下面的辦法，看是否能解決問題.

3. 本題在“逐層分析，退求其次”解題策略下的解決方案

3.1 “逐層分析，退求其次”的解題策略

為解決與本趣題類似的問題，不妨我們將數學解答題分為情景化問題和抽象化問題(下面簡稱情景問題和抽象問題)兩大類.如“一個小孩先吃2個蘋果，再吃3個蘋果，問小孩一共吃了幾個蘋果”，就是一個具有情景的數學問題.我們可以把它抽象成“ 2 + 3 =?”，這里的“2 + 3 =?”就是前面的情景問題對應的抽象問題.于是，解答數學問題時，需分類進行.對于抽象問題，首先應判斷其前提是否有矛盾或不周密.若是，則問題無解;若否，則繼續解下去.但對于情景問題，情況要復雜得多.通常，我們是將其轉化為抽象問題來解的.當抽象問題有解時，還要看該解是否與情景相符.若是，則抽象問題的解就是對應情景問題的解;若否，則它不是情景問題的解，應舍去.當抽象問題無解時，人們往往誤以為對應的情景問題就一定無解.然而，事實并非如此.這是為什么呢?

因為盡管抽象問題是由同一類情景問題族抽象而成的，且族內任一情景問題都是該抽象問題的具體化，然而兩者的解的含義卻有很大差異.抽象問題的解，是嚴格滿足命題條件的待求元的值;情景問題的解卻是該問題的解決方案，它不一定會嚴格滿足命題的所有條件.當抽象問題無解時，只能說，其對應的情景問題無嚴格滿足所有條件的精確解，而不能說它無解.為使情景問題得到解決，在它無精確解時，我們就要退而求其次，看是否能求得近似解，從而給出這一情景問題的最佳解決方案.

至于能否和怎樣尋求最佳解決方案的問題，似乎可用“逐層分析法”，即把問題所包含的矛盾分層次，且從高到低依次排列，使低層矛盾的解決以高層矛盾的解決為條件.對于無精確解的情景問題，因至少存在某層矛盾得不到解決，故需優先解決高層矛盾，直到某層矛盾不能解決為止，最后，再針對該層矛盾求問題的近似解.

因此，求解數學問題的方法或步驟可歸結如下:

(1) 分清待解的是抽象問題，還是情景問題.

(2) 對于抽象問題，首先應判斷其前提是否有矛盾或不周密.若是，則問題無解;若否，則繼續解下去.

(3) 對于情景問題，一般是先將其轉化為對應的抽象問題來解，然后根據表1中兩類問題解的對應關系，求出或確定情景問題的解.若抽象問題無解，則還需用“逐層分析法”確定情景問題近似解的存在情況，從而得到問題的解決方案.

3.2 本趣題在“逐層分析，退求其次”策略下的解答

下面，我們就按上述步驟和策略來解答本題.

這是一個關于解決分牛糾紛的數學情景問題.由解法(7)知，其抽象問題的前提存在矛盾，故抽象問題無解，但根據步驟(3)表1中情景問題與抽象問題解的對應關系知，本分牛問題可能存在近似解.

若將題中矛盾按從高到低依次分成“是否分牛”#65380;“是否整分牛”和“是否嚴格按遺囑要求分牛”3層，則根據“逐層分析法”求近似解的規則，應優先解決上兩層矛盾，讓它們的狀態都變成“是”，即在“分牛”且“整分牛”的前提下求近似解.為此，可用前述方法(1)~(5)中任意一種求解，且結果相同，即3兄弟各分得6頭#65380;3頭和2頭.

至此，我們看到，由方法(1)~(5)得到的最終解決方案與智叟的一致，且都是近似解，但它們又存在很大差別.方法(1)~(4)在推理過程中，都存在邏輯漏洞;方法(5)雖蘊涵了“無精確解，就退而求其次”的解題思想，但還是略顯“武斷”;唯有智叟，他只給出了處理糾紛的方案，而未像方法(1)~(4)那樣，還給出了含有邏輯漏洞的解釋.因此，不僅智叟的方案正確，而且其處理方法，對于古印度山區沒有多少文化的農民來說，可謂是十分絕妙的.

4. 從人們對本題解答情況統計看數學教育

4.1 關于人們對本題解答情況的統計

(1) 對網民解答情況的統計.筆者于2007年9月2日，在“百度”搜索網站，分別以“分牛”#65380;“分馬”#65380;“分羊”和“分牛問題”為關鍵詞搜索，再截取各關鍵詞搜索到的前10頁中與解答類似本趣題有關的帖子，獲得對網民解答統計情況，如表2.

注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內容請以PDF格式閱讀原文#65377;”