ＧＣＴ數(shù)學(xué)考試解題策略

【摘要】 GCT數(shù)學(xué)考試時(shí)間緊張，要求應(yīng)試者要有敏捷的思維，拿到一個(gè)題目能迅速找準(zhǔn)切入點(diǎn)，采取有效的解題策略來(lái)提高解題速度. 針對(duì)不同類(lèi)型的題目，可采取特殊值#65380;模型化#65380;直觀推斷#65380;數(shù)形結(jié)合以及逆向轉(zhuǎn)化等方法.

【關(guān)鍵詞】GCT考試 數(shù)學(xué)解題 數(shù)形結(jié)合 逆向轉(zhuǎn)化

GCT數(shù)學(xué)考試25道選擇題，答題時(shí)間45分鐘，時(shí)間緊張.GCT數(shù)學(xué)考的是基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法，重點(diǎn)考查思維能力，體現(xiàn)在考查思維敏捷性和解題速度上，平均來(lái)看針對(duì)一道題要求應(yīng)試者能夠在不到2分鐘的時(shí)間內(nèi)迅速找準(zhǔn)求解的切入點(diǎn)，采取有效的思維策略和解題方法正確作出解答.

1. 特殊值法

通過(guò)選取合適的特殊值，將正確選項(xiàng)找出來(lái).

例1 設(shè)a，b，m均為正數(shù)，且b > a，則與誰(shuí)大?

A.前者B. 后者 C. 兩者一樣大 D. 無(wú)法確定

思路 令a = 1，b = 2，m = 1，知>，選項(xiàng)A正確.這里不是討論規(guī)范解題，而是討論因?yàn)榭荚嚂r(shí)間有限而應(yīng)采取的一些解題策略.

例2 不等式|x + b|#8226;(2x + 1) ≤ 0的解集是{x|x ≤ - }，則b的取值范圍是 ( ).

A.，+∞ B. - ，+∞

C.，+∞D(zhuǎn). - ，+∞

思路 用數(shù)形結(jié)合法按b >，b =，b <三種情況分別考查f(x) = |x + b|#8226;(2x + 1)的圖像，推演時(shí)思維很不順暢.實(shí)際上，求解此題的關(guān)鍵是考查x = -b這個(gè)點(diǎn).因?yàn)楫?dāng)x = -b時(shí)，不等式|x + b|#8226;(2x + 1) ≤ 0是成立的，而不等式|x + b|#8226;(2x + 1) ≤ 0的解集是{x|x ≤ - }，故-b應(yīng)是集合{x|x ≤ - }的一個(gè)元素，從而-b ≤ - ，即b ≥.

若題目改為“不等式|x + b|#8226;(2x + 1) < 0的解集是{x|x ≤ - }，求b的取值范圍”，則由于x = -b這個(gè)點(diǎn)使不等式|x + b|#8226;(2x + 1) < 0不成立，故-b應(yīng)在集合{x|x < - }的補(bǔ)集中，于是-b ≥ - ，即b ≤.

比較這兩個(gè)問(wèn)題的結(jié)論:(1)若不等式|x + b|#8226;(2x + 1) ≤ 0的解集是{x|x ≤ - }，則b的取值范圍是{b|b ≤};(2)若不等式|x + b|#8226;(2x + 1) < 0的解集是{x|x ≤ - }，則b的取值范圍是{b|b ≤}.這看起來(lái)有點(diǎn)不可思議.

2. 模型化

應(yīng)試者如果有一些題型的模型儲(chǔ)備，解答時(shí)便能節(jié)省時(shí)間.

例3 已知數(shù)列{an}中，a1 = 2，an+1 = ( - 1)(an + 2)，n = 1，2，3，…，則{an}的通項(xiàng)公式是 ().

A. an =[( +1)n + 1]

B. an =[( +1)n - 1]

C. an =[( -1)n + 1]

D. an =[( -1)n - 1]

思路本題把n = 1代入各選項(xiàng)，可知選項(xiàng)A和選項(xiàng)D均不正確，但如何取舍選項(xiàng)B和選項(xiàng)C呢?

事實(shí)上，根據(jù)遞推式an + 1 = pan + q(p≠1)，可以如下推出數(shù)列的通項(xiàng)an.

令an+1 - α = p(an - α)，則an+1 = pan + α(1 - p)，此式與題目中所給遞推式比較，可得α = .

令bn = an - α，則bn+1 = pbn，從而bn = b1pn-1=a1 -pn-1，故an = α + bn =+a1- pn-1.

對(duì)于本題，a1 = 2，p = - 1，q = 2( -1)，代入上式，有α = = =，an = + (2 -)(- 1)n-1 =[(- 1)n + 1].

故選項(xiàng)C正確.

例4 一個(gè)容積為b升的量杯盛滿純酒精，第一次倒出a(a < b)升酒精后，用水將量杯注滿并搖勻，第二次仍倒出a升溶液后再用水將量杯注滿并搖勻，第三次還是倒出a升溶液后再用水將量杯注滿并搖勻，此時(shí)量杯中的酒精溶液濃度為12.5 %，則每次的倒出量 為()升.

A. 0.4b B. 0.5bC. 0.6bD. 0.7b

思路 第一次倒出a升酒精，量杯中還剩酒精b - a升，用水將量杯注滿，溶液濃度變?yōu)?;

第二次倒出a升酒精溶液，量杯中還剩酒精(b - a) -#8226;a = (b - a)1-=升，再用水將量杯注滿，溶液濃度變?yōu)?;

第三次倒出a升酒精溶液，量杯中還剩酒精- #8226;a =(b - a) =升，再用水將量杯注滿，溶液濃度變?yōu)?;

依此類(lèi)推，第n次倒出a升酒精溶液，量杯中還剩酒精 升，再用水將量杯注，滿溶液濃度變?yōu)?.

據(jù)此可知，每次倒出a升后再用水將量杯注滿，溶液的濃度分別為: ， 2 ， 3，…， n，這是一個(gè)公比為 的等比數(shù)列.

對(duì)于上述題目，n = 3，從而 3=12.5 %，解得a = 0.5b.

3. 直觀推斷

GCT數(shù)學(xué)考試中，有部分題目憑借直觀圖也能較快地作出正確選擇，當(dāng)然這里的“直觀”是有根據(jù)的直觀.

例5 設(shè)坐標(biāo)平面內(nèi)有一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，沿 軸跳動(dòng)，每次向正方向或負(fù)方向跳1個(gè)單位，經(jīng)過(guò)5次跳動(dòng)質(zhì)點(diǎn)落在(3，0)(允許重復(fù)過(guò)此點(diǎn) )處，則質(zhì)點(diǎn)不同的運(yùn)動(dòng)路線有()種.

A. 3B. 4 C. 5D. 6

思路 畫(huà)一個(gè)數(shù)軸，如右圖，試驗(yàn)質(zhì)點(diǎn)怎樣按要求經(jīng)過(guò)5次跳動(dòng)落在C點(diǎn).

(1) O→A→O→A→B→C;

(2) O→A→B→A→B→C;

(3) O→A→B→C→B→C;

(4) O→A→B→C→D→C;

(5) O→E→O→A→B→C.

僅此5種.經(jīng)過(guò)E點(diǎn)左邊的整數(shù)點(diǎn)跳5次落不到C點(diǎn).

例6 如右圖所示，在正方形ABCD中，BE = 2EC， △AOB的面積是9 cm2 ，則陰影部分的面積為( )cm2.

A. 36B. 30C. 21D.12

思路 本題通過(guò)口算即可得出正確答案. △AOB的面積是整個(gè)正方形面積的 ，由于△AOB的面積是9 cm2，可知正方形面積是36 cm2，從而△BCD的面積是18 cm2. △DBE與△DEC二者的高相同，由已知BE = 2EC，△DBE的底是△DEC 的2倍，故△DBE的面積是 ×18 = 12 cm2，從而陰影部分的面積為:S△AOB + S△DBE = 9 + 12 = 21 cm2.

從整體上把握?qǐng)D形，借助其中的等量關(guān)系和比例關(guān)系不用求正方形的邊長(zhǎng)就算出了陰影部分的面積，節(jié)約了時(shí)間，而且不易出錯(cuò).

例7 已知雙曲線C:x2 - = 1.過(guò)點(diǎn)(1，1)作直線l，使l與C有且只有一個(gè)交點(diǎn)，滿足這個(gè)條件的直線l 共有( )條.

A. 1B. 2C. 3D. 4

思路 GCT考試中遇到這樣的題目最好通過(guò)畫(huà)圖從幾何直觀入手，由于時(shí)間緊迫，過(guò)長(zhǎng)的推導(dǎo)容易出錯(cuò)，且用時(shí)較多，作圖時(shí)要盡量畫(huà)得準(zhǔn)確些.如右圖所示， l1，l2是過(guò)點(diǎn)A(1，1)分別平行于兩條漸近線的兩條直線，l3是過(guò)A點(diǎn)垂直于x軸的直線，它與雙曲線相交于雙曲線的右頂點(diǎn)(1，0)，l4 是過(guò)A點(diǎn)的雙曲線的一條切線.因此，滿足條件的直線l共有4條.

4. 逆向轉(zhuǎn)化

有一類(lèi)題目如果用正向思維去求解會(huì)相當(dāng)困難，特別是在GCT考試時(shí)間相對(duì)緊張的情況下更不能算是好的策略.這類(lèi)題用逆向思維思考常常事半功倍，而且往往是正向解決越困難，逆向解決就越容易.

例8 若二次函數(shù)f(x) = 4x2 - 2(p - 2)x + 1 - 2p2 - p在閉區(qū)間[-1，1]內(nèi)至少存在一個(gè)點(diǎn)C(c，0)，使得f(c) > 0，求實(shí)數(shù)p的取值范圍.

A.{p|p ≥ 1或p ≤ - }B. {p|p ≥或p ≤ -3}

C. {p|1 ≤ p ≤或-3 ≤ p≤ - }

D. {p|-3 < p < }

思路 “f(x)在閉區(qū)間[-1，1]內(nèi)至少存在一個(gè)點(diǎn)C(c，0)，使得f(c) > 0”這個(gè)命題的非命題為:對(duì)于閉區(qū)間[-1，1]內(nèi)的任意一個(gè)實(shí)數(shù)x，都有f(x) ≤ 0.如果我們能求出滿足后一個(gè)命題的實(shí)數(shù)p的取值范圍，那么題目中所求實(shí)數(shù)p的取值范圍應(yīng)是它的補(bǔ)集.而求解后一個(gè)問(wèn)題則相當(dāng)容易.

在閉區(qū)間[-1，1]內(nèi)f(x) ≤ 0所應(yīng)滿足的條件是(如右圖所示):f(-1) ≤ 0，f(1) ≤ 0.從而有2p2 - p - 1 ≥ 02p2 + 3p - 9 ≥ 0?圯p ≥ 1或p ≤ - p ≥或p ≤ -3?圯 p ≥或p ≤ -3.

于是，題目中要求的實(shí)數(shù)p的取值范圍是-3，. 逆向轉(zhuǎn)化法常常用于求解概率問(wèn)題.

5. 數(shù)形結(jié)合

數(shù)形結(jié)合就是將題目與題目中所涉及的函數(shù)對(duì)應(yīng)的圖形結(jié)合起來(lái)，根據(jù)圖中透露的信息，尋找解題的途徑.數(shù)形結(jié)合法是求解數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種常用而且重要的方法，這在前面所舉的幾個(gè)例子中就能看到，它常常和其他方法結(jié)合起來(lái)使用.

例9 若關(guān)于x的不等式|x - 2| + |x + 1| < b的解集是?準(zhǔn)，則b的取值范圍是 ().

A. (3，+∞)B. [3，+∞)

C. (-∞，3]D. (-∞，3)

思路 令f(x) = |x - 2| + |x + 1|，只須畫(huà)出f(x)的圖像，上述不等式中b的取值范圍便一目了然.

f(x) = -2x + 1，x∈(-∞，-1]，3，x ∈ (-1，2]，2x - 1，x∈(2，+∞).其圖像如下:

由圖可知f(x)在(-∞，+∞)上的最小值是3，故不等式|x - 2| + |x + 1| < b的解集是?準(zhǔn)時(shí)b的取值范圍是 (-∞，3].

例10 求不等式log2(-x) < x + 1的解集.

思路 只需在同一坐標(biāo)系內(nèi)分別畫(huà)出f(x) = log2(-x)與g(x) = x + 1的圖像即可.

f(x)的定義域是(-∞，0)，其圖像與h(x) = log2x的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng); g(x)的圖像是一條斜率為1 的直線，如圖所示:很明顯，不等式log2(-x)< x + 1

的解集是開(kāi)區(qū)間(-1，0) .

【參考文獻(xiàn)】

[1] 劉慶華主編.GCT數(shù)學(xué)模擬試題與解析[M].北京:清華大學(xué)出版社，2008.5.

[2] 陶興模.數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的基本策略[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2005(4):33-34.

注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文#65377;”