論以靜制動

“運動型”幾何題是近幾年中考熱點，它是以幾何元素運動為背景，探討變化中的幾何量之間的關系，常常集幾何#65380;代數知識于一體，數形結合，有較強的綜合性.

解決這類幾何圖形的“運動型”試題，關鍵是不管點在運動#65380;線在運動#65380;還是圖形在運動，解題時都要發揮想像能力，不被“動”所迷惑，應在“動”中求“靜”，以“靜”為向導，做到“以靜制動”，即把動態問題轉化為靜態問題來解，同時，要善于利用相似三角形性質定理，勾股定理，與圓有關的定理，面積關系，借助方程這座橋梁，從而得到函數的關系式. 必要時，對函數關系式中的自變量的取值范圍必須認真考慮，一般需要有約束條件. 常見的有:動點型#65380;動線型#65380;動面型.

一#65380;動點型

例1 (2006年德州)如圖1，平面直角坐標系中，四邊形OABC為矩形，點A，B的坐標分別為(4，0)，(4，3)，動點M，N分別從O，B同時出發，以每秒1個單位的速度運動，其中，點M沿OA向終點A運動，點N沿BC向終點C運動，過點M作MP⊥OA，交AC于P，已知動點運動了x秒.

(1)P點的坐標為( ，)(用含x的代數式表示).

(2) 試求△PNC面積S的表達式，并求出面積S的最大值及相應的x值.

(3) 當x為何值時，△NPC是一個等腰三角形?簡要說明理由.

解 (1)由△OAC∽△MAP得Px，3 - x.

(2)如圖1，延長MP交BC于點

D，則CN = 4 - x， PD = 3 - 3 - x =x.

∴ S =(4 - x) x = -x2 +x = -(x - 2)2 +，

∴ S的最大值為 ，此時x = 2.

(3)設△NPC是等腰三角形，有三種情況:

①若PC = PN，則4 - x = 2x，解得x =.

②若CP = CN，由△MAP∽△OAC，得=.∵ AC = 5，MA = 4 - x，OA = 4，

∴ AP = 5 -x，∴PC = 5 - AP = x，

∴ x = 4 - x，解得x =.

③如圖2， 圖2若NC = NP，過N作NE⊥AC于點E，由②知PC=x ，

∴C E=PC =x.

由△CEN∽△AOC得 =.

∵ CN = 4 - x，CE =x，AC = 5，AO = 4，解得x =.

點評 點的運動是運動型幾何題中最常見類型，同學們在復習階段應該多加關注;這類題的求解要點是抓住運動變化中的“不變”建立函數關系式，同時要特別留意自變量的取值范圍.

二#65380;動線型

例2 如圖3，直線AB過點A(m，0)，B(0，n)，(m > 0，n > 0)，反比例函數y = 的圖像與AB交于C，D兩點，P為雙曲線y = 上任意一點，過P點作PQ⊥x軸于Q，PR⊥y軸于R.

(1) 若m + n = 10，n為何值時，△AOB的面積最大?最大值是多少?

(2) 若△AOC，△COD，△DOB的面積相等，求n的值.

(3) 在(2)條件下，過O，D，C三點作拋物線，當拋物線的對稱軸為x = 1時，矩形PROQ的面積是多少?

解 (1)∵S△AOB =mn，m + n = 10，得m = 10 - n，

∴ S△AOB = -n2 + 5n = - (n - 5)2 +.

因此當n = 5時，△AOB的面積最大，最大值是 . (2)由S△ADC = S△COD = S△DOB，知BC = CD = DA，過C作CH⊥x軸于H，如圖3，則△AHC∽△AOB，

∴== =，

∴ CH =n，AH =m，

∴ OH = OA - AH =m，

∴C m， n.

又∵點C在反比例函數y = 的圖像上，

∴n = ，解得n =.

(3)由(2)知n =，∴C m， ，D m，3.

設過O，D，C三點拋物線解析式為y = ax2 + bx，則有3 =m2a +mb，=m2a +mb，b = -2a .整理得27 = m2a - 6ma，27 = 8m2a - 24ma.

解得m =.

∴ S矩形PROQ = |m| =.

點評 例2中三角形面積和兩直角邊都是變量，但兩直角邊之和是常量，利用這點可將兩個變量聯系起來，得到函數關系式;這類題求解應抓住在直線#65380;線段的移動過程中，其保持不變的量，再結合三角形面積中同高等底，相似三角形的性質定理及換元法等求解.

三#65380;動面型

例3 (2007 年江西)如圖4，矩形ABCD的兩條邊在坐標軸上，點D與原點重合，對角線BD所在直線的函數關系式為y =x，AD = 8，矩形ABCD沿DB方向以每秒1個單位長度的速度運動，同時點P從點A出發做勻速運動，沿矩形ABCD的邊經過點B到達C用了14秒.

(1) 求矩形ABCD的周長.

(2) 如圖5，圖形運動到第5秒時，求點P的坐標.

(3) 設矩形運動的時間為t，當0 ≤ t ≤ 6時，點P所經過的路線是一條線段，請求出線段所在直線的函數關系式.

(4) 當點P在線段AB或BC上運動時，過點P作x軸，y軸的垂線，垂足分別為E，F，則矩形PEOF是否能與矩形ABCD相似(或位似)?若能，求出t的值;若不能，說明理由.

解 (1)把AD = 8代入y =x中得:AB = y = 6，

∴矩形ABCD的周長是28.

(2)如圖5，延長CD，BA交x軸于點G，H，

又∵ AB + BC = 14， 點P走過AB，BC的時間為14s，

∴點P的速度為每秒1個單位. 由題知OD = 5，令OG = k，則DG =k(k > 0).

在Rt△ODE中，k2 +k2 = 25，解得k = 4即OG = 4，DG = 3，∴D(4，3)，∴ OH = 4 + 8 = 12，∴ B(12，9)，因此點P在AB上.

又∵AP = 5 + 3 = 8， ∴P(12，8).

(3)由題知:點P運動前的位置為(8，0)，5 s后的位置是(12，8)，又知它運動路線是一條線段，易知該線段所在直線的函數關系式為:y = 2x - 16.

(4)分兩種情況:如圖6 ，①當點P在AB上運動，

即0 ≤ t ≤ 6時， 點D的坐標為 t， t，所以點P的坐標為8 +t， t，若=，則=，解得t = 6.

當t = 6時，點P與點B重合，此時矩形PEOF與矩形BADC是相似形. 若=，則 =，解得t = 20.

∵ 20 > 6，∴點P不在AB邊上，舍去.

②當點P在BC上運動，即6 ≤ t ≤ 14時，點D的坐標為 t， t，所以點P的坐標為(14-t， t + 6)，若 =，則 = =，解得t = 6(已討論).若 ==，則=，解得t == > 14，∴點P不在BC邊上，舍去.

綜上所述，當t = 6時，點P到達點B，矩形PEOF與矩形BADC是位似形.

點評 例3是四邊形和一次函數的綜合題，解答時利用勾股定理，相似形中的比例;解題時，應注意在運動過程中的相對變量與不變量的應用，用列方程等方法找出函數關系式，特別要留意自變量的取值范圍.

注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內容請以PDF格式閱讀原文#65377;”