例談解析幾何解題策略

〔關鍵詞〕 解析幾何；數形結合；幾何條件；代數形式；

隱含條件；解題功能

〔中圖分類號〕 G633.63〔文獻標識碼〕 C

〔文章編號〕 1004—0463（2008）10（B）—0060—02

解析幾何在高考中的地位是毋庸置疑的，然而考生對此部分的題目總表現得不夠得心應手，尤其是這部分的中、高檔題目更讓其一籌莫展.結合多年的備考心得，本人現就解析幾何問題的解題策略談幾點認識.

數形結合，把幾何條件用代數形式準確表示

例1：如圖1，已知直線y=-x+1與橢圓+=1（a＞0，b＞0）相交于A，B兩點，且線段AB的中點M在直線l∶x-2y=0上.

（1）求此橢圓的離心率e；

（2）若橢圓的右焦點關于直線l的對稱點在圓x2+y2=4上，求此橢圓的方程.

分析：此即直線與圓錐曲線位置關系的常規問題.依直線y=-x+1與橢圓相割可得弦AB的中點，又右焦點關于直線l的對稱點可得.上述兩個關系乃題設主要條件，若能牢牢把握，此題可順利求解.

解：（1）由y=-x+1，b2x2+a2y2=a2b2，得

（a2+b2）x2-2a2x+a2-a2b2=0.

若設A點坐標為（x1，y1），B點坐標為（x2，y2），則依韋達定理有 x1+x2=， ∴ y1+y2=-（x1+x2）+2=，∴線段AB的中點M的坐標為（，）.

又點M在l上，即有-=0，

∴ a2=2b2=2（a2-c2），∴ a2=2c2，∴ e=.

（2）由（1）知b=c，∴橢圓右焦點為F（b，0）.

設其關于l的對稱點為C（x0，y0），

則=-2，-2×=0.?圯x0=b，y0=b. ∴C點坐標為（b，b）. ∴有（b）2+（b）2=4，∴ b2=4，a2=8.

∴+=1為所求方程.

啟示：各幾何特征的代數表達是解題的關鍵.

深刻鉆研，挖掘題目中的隱含條件

例2：如圖2，在△ABF中，AF=1，AB=7，且S△ABF=.若以F為焦點，A為相應頂點的雙曲線過點B，試求雙曲線的標準方程.

分析：這是一道三角形與解析幾何結合的中等綜合題，根據題設的前三個條件可求得sin∠FAB，但是如果能根據圖形挖掘出隱含條件“∠FAB為鈍角”，則∠FAB可確定，進而可得B點坐標.

解：依題意，設雙曲線的方程為-=1（a＞0，b＞0），則c-a=|FA|=1，① c2=a2+b2.②

又在△FAB中，×1×7sin∠FAB=，所以sin∠FAB=.

由圖2知：∠FAB為鈍角，∴∠FAB=150°，∠BAO=30°.∴ B點坐標為（-a，），

∴-=1.③

由①②可得b2=2a+1，代入③得-a2+a

+=0，即315a2-798a-441=0.∴ a=3，b2=7.

故所求雙曲線方程為-=1.

啟示：一定的算功是“待定系數法”得以順利進行的必要保證.

準確領會，力求變形，使條件的作用更加明晰

例3：已知拋物線x2=2py（p＞0），F為焦點，A（x1，y1），B（x2，y2）是拋物線上的兩點，若存在實數α，β且α+β=1，使=α+β（O為原點）.

（1）求x1x2的值；

（2）求∠AOB的最大值；

（3）過A，B點分別作拋物線的切線l1和l2，求l1，l2的所成角.

分析：依據已知條件界定點A，B，F的相對位置，則∠AOB相應關系式由何渠道產生將是解此題的關鍵.

解：（1） ∵ α+β=1， ∴ β=1-α，

∴=α+（1-α）=α(-)+，

∴ -=α（-），即=α，

∴ A，B，F三點共線（如圖3）.

又F點的坐標為（0，），則可設AB的方程為：y-=kx，即y=kx+.

由y=kx+x2=2py，，得x2-2pkx-p2=0，∴ x1x2=-p2.

（2）不妨設x1＜0，x2＞0.

因為tan∠AOB==

===

=（x1-x2），

又∵（-x1）+x2≥2=2p， ∴ x1-x2≤-2p，

∴ tan∠AOB=(x1-x2) ≤-，

∴∠AOB≤π-arctan.

（3） ∵ y=， ∴ y′=，

∴ kl=，kl=， ∴ klkl==-1，

∴ l1與l2所成角為90°.

啟示：此題中平面向量、解析幾何、均值不等式、導數等知識得到了有機的結合，展現了高考的一個新的亮點.求解此題應搞清以下幾點：

①=α+β（α，β∈R）?圯=α?圯B是的內分點?圯A，B，F三點共線?圯直線AB的方程；

②tan∠AOB可依到角公式產生，隨后變形、化簡；

③由曲線x2=2py聯想得函數y=，使其在A，B點的切線斜率的產生有章可循；

④總體條件下產生的結論（1）：x1x2=-p2在（2）（3）中的適時應用.