淺談三角函數值符號的確定

〔關鍵詞〕 三角函數；象限；角的范圍；圖象

〔中圖分類號〕 G633.62〔文獻標識碼〕 A

〔文章編號〕 1004—0463（2008）10（B）—0063—02

在高中數學的學習中，如何確定三角函數值符號的正負，是學生普遍感到困惑或棘手的問題.但是，如果能夠弄清楚決定三角函數值變化的主要因素，問題就變得簡單了.阿基米德說過：“給我一個支點，我可以撬起地球.”事實上，正確的切入點，就像是撬起地球時的支點一樣，是解決難題的基礎.抓住了決定三角函數值變化的主要因素，三角函數值的確定問題就會迎刃而解.那么，決定三角函數值變化的主要因素有哪些呢？

顯然，無論是在正弦、余弦、正切、余切函數中，還是在正割、余割函數中，角的范圍始終是三角函數值變化的基點，而且，我們也知道，每一種三角函數值的變化，都是隨著角度范圍的變化，在一定的象限中呈周期性變化的，每種函數的值域都是在一定的定義域內存在規律性變化的.因此，確定三角函數值符號的問題，就轉化成了確定角所在象限、角的范圍的問題.

首先，從角所在的象限來看，正弦、余割函數，余弦、正割函數，正切、余切函數呈兩兩對應關系，它們在相同象限的函數值符號相同.因此，在具體解題中，只要弄清楚函數值符號與角所在象限的對應關系，往往就可以輕松地解決問題.

例如，求y=+++的值域.

首先可以肯定的是分母不能為0，因此sinx≠0，cosx≠0，tanx≠0，cotx≠0，也就是說x≠kπ或x≠kπ+，k∈Z.所以，當x在第一象限時，|sinx|=sinx，|cosx|=cosx，|tanx|=tanx，|cotx|=cotx，y=1+1+1+1=4；同理，當x在第二象限時，y=1-1-1-1=-2；當x在第三象限時，y=-1-1+1+1=0；當x在第四象限時，y=-1+1-1-1=-2.顯然，y的值域為{-2，0，4}.

其次，通過確定角的具體范圍，也可以達到確定三角函數值符號的目的.那么，如何確定角的具體范圍呢？顯然，角的范圍問題從根本上來說，涉及到的其實是如何解不等式值的問題.

我們知道，在不等式的運算過程中，“同向不等式相加，不等號不變”，“不等式兩邊同乘以-1，不等號要變號”.而在確定三角函數值符號的問題中，可利用不等式的性質來求角的具體范圍，從而實現確定三角函數值符號的目的，這是一種比較有效的思路.

例如，已知0＜α＜＜β＜π，sinα=，cos（α+β）=

-，求sinβ的值.

我們可以這樣來分析： β=[（α+β）-α]，則sinβ=sin[（α+β）-α]=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα .根據sin2α+cos2α=1，可求出sin2（α+β）和cos2α的值，因此可以看出，本題的重點是需確定sin（α+β）和cosα的符號.由0＜α＜，sinα=可知，cosα==.又0＜α＜＜β＜π，由不等式性質可知＜α+β＜，所以sin（α+β）=±=±，sinβ=sin[（α+β）-α]=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα=±×-（-）×，所以sinβ的值為0或.

但是有時候，僅僅根據不等式的性質求出了解的范圍，并不能確定三角函數值的符號，還需要根據三角函數的增減性將所求角的范圍具體化，才能確定三角函數值的符號.

例如，已知α、β、?酌都是銳角，tanα=，tanβ=，tan?酌=，求sin（α+β+?酌）的值.

我們的分析是：由已知，0＜α+β+?酌＜，而sin（α+β+?酌）的值可正可負，并不確定，因此，我們必須要根據三角函數的增減性來將角的范圍具體化.具體解法為： ∵ tan（α+β）==，tan（α+β+?酌）==1.又∵ 0＜α＜，tanα=＜， ∴ 0＜α＜.同理，0＜β＜，0＜?酌＜.而tan（α+β+?酌）=1，∴ α+β+?酌=，sin（α+β+?酌）=.

從以上解題過程可以看出，要充分利用角的范圍來確定三角函數值的符號，必須要非常熟悉各種函數之間的轉化關系和各種函數在對應象限中的變化情況.而要能熟練掌握這些內容，除了要熟練運用半角公式、倍角公式、萬能公式、積化和差公式、和差化積公式等各種數學公式外，更重要的是要非常熟悉各種函數的圖象.

因此，最后我們還要學會根據三角函數的圖象來確定三角函數值符號的方法.事實上，三角函數的圖象與三角函數角的范圍、角所在的象限都存在著非常密切的對應關系.利用函數圖象直觀地進行考察和分析來確定函數符號的正負，顯得更為直觀，也更為方便.