例說借題發揮拓寬解題思路

〔關鍵詞〕 創新能力；一題多解；一題

多變；解題思路

〔中圖分類號〕 G633.63

〔文獻標識碼〕 C

〔文章編號〕 1004—0463（2008）

10（B）—0061—02

開發學生的智力，培養學生的創新能力是素質教育的核心，也是新課標的目的之所在.教師在授課時若能認真鉆研教材，深入地挖掘例（習）題潛能，一題多解，一題多變，這對于培養學生數學興趣、拓寬學生解題思路、提高學生分析及解決問題的能力起著不可估量的作用.現舉例說明.

一題多解，培養思維的廣泛性

已知：如圖1，AD∥BC，點E是DC的中點，AE平分∠BAD，求證：BE平分∠ABC.

分析：如圖2，延長AE交BC的延長線于點F，則△ADE≌△FCE（AAS）.不難證出△BAF是等腰三角形，又因為E是底邊AF的中點，所以，BE平分∠ABC.

[變式1] 已知：如圖1，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，求證：點E是DC的中點.

證法1：如圖2，延長AE交BC的延長線于點F.

則AD∥BC?圯∠DAE=∠F，

AE平分∠BAD?圯

∠DAE=∠BAE，

∴∠BAE=∠F?圯BA=BF.

又BE平分∠ABC，∴ AE=EF.

在△ADE和△FCE中，

∠DAE=∠F，

AE=FE，

∠AED=∠FEC，

∴△ADE≌△FEC（ASA），

∴ DE=CE，即E是DC的中點.

證法2：如圖3，延長BE交AD的延長線于點F.

則AD∥BC?圯∠CBE=∠F，

又BE平分∠ABC?圯

∠CBE=∠ABE，

∴∠ABE=∠F?圯AB=AF.

AE平分∠BAD?圯BE=FE.

同理可證，△FED≌△BEC（ASA）?圯E是DC的中點.

證法3：如圖4，在AB上截取AF=AD，連接EF.

不難證出△ADE≌△AFE（SAS）?圯FE=DE，∠D=∠AFE.

∵ AD∥BC?圯∠D+∠C=180°，

∠AFE+∠BFE=180°，

∴ ∠BFE=∠C.

∴ 可證出△EFB≌△ECB（AAS）?圯EF=EC.

∴ FE=DE=EC，即E是DC的中點.

[變式2] 已知：如圖1，AD∥BC，點E是DC的中點，AE平分∠BAD，求證：AB=AD+BC.

分析：我們同樣可以采用變式1中的三種方法證明.現分析一解：如圖2，延長AE交BC的延長線于點F，則△ADE≌△FCE（AAS）?圯AD=CF，又AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠F?圯AB=BF=BC+CF=AD+BC.

[變式3] 已知：如圖1，AD∥BC，點E是DC的中點，AE平分∠BAD，求證：AE⊥BE.

分析：我們同樣可以采用變式1中的三種方法證明.現分析一解：如圖2，延長AE交BC的延長線于點F，則△ADE≌△FCE（AAS）?圯∠F=∠DAE，AE=FE.又∵AE平分∠BAD，∴∠F=∠BAE?圯BA=BF，又E是AF的中點，則AE⊥BE.

[變式4]已知：如圖1，AD∥BC，AE平分∠BAD，AE⊥BE，求證：AB=AD+BC.

證法1：如圖5，延長AE交BC的延長線于點F.

∵ AE平分∠BAC，∴∠1=∠2.

∵∠5=90°，∴∠2+∠3=90°.

∵ AD∥BC，

∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°，

∴∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4.

∵ BE⊥AE，∴∠BEF=90°.

在△ABE和△FBE中

∠3=∠4，BE=BE，∠5=∠FBE.

∴△ABE≌△FBE（ASA），

∴ AE=EF，AB=BF.

∵ AD∥BC， ∴∠1=∠F.

在ADE和△FCE中

∠1=∠F，AE=FE，∠AED=∠FEC.

∴ △ADE≌△FCE（ASA），

∴ AD=CF.

∵ BF=CF+BC，AB=BF，

∴ AB=AD+BC.

證法2：如圖3，延長BE交AD的延長線于點F. ∵ AE平分∠BAD，AE⊥BE，∴ AB=AF，BE=FE，又AD∥BC，∴∠F=∠CBE，可證△BCE≌△FDE（ASA）?圯AB=AF=AD+DF=BC+AD.

證法3：如圖6，在AB上截取AF=AD，連接EF，則△ADE≌△AFE（SAS）?圯∠DEA=∠FEA，又AE⊥BE?圯∠AEB=∠MEB=90°，∴ AEF+∠BEF=∠CEB+∠MEC.又∠DEA=∠FEA=∠MEC，∴∠FEB=∠CEB.又AD∥BC?圯∠D+∠C=180°，由∠AFE+∠BFE=180°，∠C=∠BFE，就不難證出△BFE≌△BCE（AAS）?圯BC=BF，∴ AB=AD+BC.

一題多變，培養思維的靈活性

從以上結論的變式我們可以歸納出：六選三可證三.

（1）AD∥BC；

（2）AE平分∠BAD；

（3）BE平分∠ABC；

（4）點E是DC的中點；

（5）AB=AD+BC；

（6）AE⊥BE（或∠AEB=90°）.

[探究變式5]S四邊形ABCD=2·

S△ABE，證明是顯而易見的.

[拓廣變式6]如圖7，AD∥BC，∠A=90°，AB=12，BC=9，CD=13，點E是AB所在直線上的一動點.是否存在這樣的點，使△CDE為直角三角形？若存在請確定點E的位置，若不存在請說明理由.

分析：過D作DE⊥BC，垂足為E，則四邊形ABED是矩形，則AD=4.設AE=x，則在Rt△DEC中：

變法（1），如果∠DEC=90°，如圖8，則有（42+x2）+[（12-x）2+92]=132.解這個方程得x=6.

變法（2），如果∠EDC=90°，如圖9，則有（42+x2）+132=（12-x）2+92.解這個方程得x=.

變法（3），如果∠DCE=90°，如圖10，則有[（x-12）2+92]+132=42+x2，解這個方程得x=15.

通過以上的條件變式、結合變式、逆向變式、類比變式、圖形變式、拓廣變式、探究變式的學習，可以使學生跳出題海，思維靈活性得到提高.