圖式理論在高等數學教學中的應用

圖式理論（Schema Theory）是認知心理學研究的一個重要方面，它是一種關于人的知識是怎樣表征出來，以及關于知識的表征如何以特有的方式有利于知識的應用的理論。按照該理論，人腦中保存的一切知識都能分成單元、構成“組塊”和組成系統，這些單元、“組塊”和系統就是圖式（Schema）。它的表征形式是命題、表象、線性排序等，是對一般概念的有意義信息形成的一個集合體。這里的一般概念可以是客體的類目，如數學中的三角形、等比數列、二次函數等；也可以是一個事件的類目，如解三角形、計算數列的和、求函數的極值等等。無論什么主題，圖式中總是包含那個類目中的所有客體或事件所共有的某些特征，例如，“三角形”的圖式就包含了我們所熟知的特征，如三條邊、封閉的、二維的及其表象“△”等信息。因此，圖式實質上是一種關于知識的認知模式。

認知心理學認為，圖式理論是一種高級的教學策略。眾所周知，常規的數學教學強調以教師為中心，重視陳述性知識和知識的陳述，這樣導致學生多是被動甚至機械地接受知識，難以形成框架清晰且富有聯動性的認知結構。而圖式理論則重視學生完整的知識結構的建構與活化，并因此而消減了因為知識難度增加所帶來的認知障礙。

一、加強圖式的記憶

如果我們對圖式形成的過程進行仔細的分析后就會不難發現，圖式的形成對人的記憶提出了很重的負擔，在這一過程中，個體必須至少在學習中保持兩個實例，對這些實例作出全面考察，記下它們的相似之處，再對這些相似之處形成新的編碼表征，因此為減輕學生記憶負擔的各種措施都將有助于圖式的形成。

即使教師或教材做到了同時或接連呈現實例，有時學生可能還不會進行比較，因為在他們的學習閱歷中可能充滿了這些實例的方方面面的細節。因此，教師可設法引導學生搞清這些實例的相似性，只有這樣，對圖式的形成才會更有效。

（一）例如，要介紹函數間斷點的分類，教師可先把函數在不連續點的幾種形態圖畫出（圖1），讓學生這幾種直觀圖形進行透徹的觀察。然后，教師只要通過適當引導，學生就可容易地從圖中曲線的變化情況看到產生間斷的不同狀況，對這些狀況進行歸納整理，就不難理解為什么要用左、右極限是否存在或是否相等來邏輯地定義不同類型的間斷點，進而了解極限值、函數值等數學對象之間存在的邏輯關系。這對正確認識函數的不同類型間斷點，正確處理有關函數間斷問題，以及進一步加深理解函數在某點處連續的實質——函數在該點的函數值等于其極限值等，都有著積極的幫助作用。（圖1為幾種常見的間斷點形態）

由于數學研究的對象是現實世界的空間形式和數量關系，因此許多抽象的數學概念能用數學圖形形象化，有利于學生通過對直觀圖形的透徹觀察，從感性認識向理性認識過渡，這符合人們思維過程普遍規律。另外，對數學對象記憶的牢固度、掌握的準確度，也取決于對該對象的可感性。在數學的認知活動中，數學圖形思維的簡明清晰性往往能給抽象邏輯思維提供較多的感性并融合于抽象邏輯思的過程中。因此，在教學中注重數學圖式的使用，能幫助和促進學生抽象邏輯思維的展開。

（二）通過使用一些簡單的圖形對數學對象進行思維，就是將數學問題的各個部分有機地與圖形的相應對象建立對應，把對數學問題的思考轉化為對圖形對象的思考，這樣的思維過程正是數學形象思維的過程，其目的就是利用圖形的構造方式、功能向學生展現數學問題的實質。顯然，這樣能有效地促進學生數學形象思維的形成和發展，培養并提高學生數學形象思維的能力。

求多元復合函數的偏導數對學生來說是一個難點，要克服這個難點，教學中可充分利用圖形來對求偏導數的順序進行思維。如：對于函數z=f（u，v），且u=Φ（x，y），v=Ψ（x，y），其求偏導數的公式為：

= #8226; + #8226; 和 = #8226; + #8226;

要理解并記住這兩個公式，我們只需讓學生理解圖2的表現方式和含義即可。例如，欲求 ，我們可對照圖2讓學生知道：只需沿著實線找出從z到x的路徑z→u→x和z→v→x，并理解每個箭頭的含義是求箭首變量對于箭尾變量的偏導數，每條路徑上所得偏導數要取積，而不同路徑所得的偏導數積要取和，就可得到公式。學生一旦掌握了構造如圖2之類圖形的方法，就可應用于更為復雜的多元復合函數，按圖索驥，正確地得到有關求偏導數的順序。

二、變換圖形的“標準形式”

學生需要從各種樣例中發現它們的共同成分，但如果呈現的樣例還含有本不屬于圖式的相同成分的話，就會使學生形成的圖式過于局限。如在級數的教學中，若呈現的級數收斂或發散的樣例都是所謂的“標準形式”，那么這個“標準形式”可能就會被包含在各種命題之中，學生獲得這種不正確的圖式就會影響對以后遇到的新實例作出正確的歸類。具體地說，以下就是這方面的一些常見實例：級數是收斂的，=0，因此，我們應當避免將一種“圖式”與某一特定的“標準形式”固定地連接起來，應當經常地變換圖形的“標準形式”，否則可能就會很容易造成一些不應有的“偏見”，換言之，教學時要力求選擇的實例在無關特征方面廣泛變化。

圖式使認知過程變得形象、直觀，并凸顯了數學對象間的有機聯系，這就為學生學習數學創建了良好的、易于開展數學思維的情境，可以促使學生的思維活躍起來，產生求知欲，從而增進學生對數學的學習信心。

三、探求選擇圖式的反例

（一）美國數學家B#8226;R#8226;蓋爾鮑姆和J#8226;M#8226;H#8226;奧姆斯特德在《分析中的反例》一書中指出：“數學由兩個大類——證明和反例組成，而數學發現也朝著兩個主要的目標——提出證明和構造反例?！币话愕卣f，學生最初形成的圖式往往因缺乏精確性而表現出過于泛化。例如，技師生常常會把第一次看到的某個新實例錯誤地劃歸為某一已知的范疇。比如，求導數y=x ，便想當然地認為可以用導數公式y=x ，求得y=x#8226;x ;學了洛必達法則，就對所有函數極值都不假思索地用上了，如發生這樣的錯誤===3。再如求y =2x，y=x-4所圍成的圖形面積。學生往往會先求出交點A（2，-2），B（8，4），從而錯誤地認為x，y的積分范圍為2≤x≤8，-2≤y≤4。

因此，若要促進圖式的精深，則需要選擇和安排圖式的反例，而且最好是將圖式的正例與反例同時呈現，這樣有可能使適合圖式使用和不適合圖式使用的情境同時出現在學生的記憶中，便于學生識別、區分出兩種情境的關鍵之所在。

（二）引導學生自己發現或提出圖式的正確樣例

促進圖式最有效的途徑是學生自己提出新圖式的樣例，比如數學史上有趣的“無窮級數悖論”的解決。在教學中，教師應幫助學生意識到比較實例將有助于圖式的形成，同時應利用圖式的遷移功能，鼓勵學生自己發現或提出圖式的正確樣例。心理學家戴維奧蘇伯爾認為：學習的遷移是通過學生頭腦中形成的認知結構而實現的。因此，他認為促進遷移就是要塑造學生良好的認知結構。而認知結構是我們關于某一領域內的所有觀念的內容及其組織。從某種意義上說，認知結構就是我們所講的圖式。如此看來，我們能夠在其他情境中運用以前習得的知識關鍵在于我們頭腦中形成了一定的圖式。而圖式貯存的知識具有一定程度的概括性，不是具體某一例子在頭腦中的貯存，易于遷移。例如，導函數與積分函數之間的具體關聯，可自然地應用于微分方程中去。因此，只要我們堅持這樣做下去，這種認識和練習最終將會養成學生發現或提出圖式實例的良好習慣。

例如綱要信號圖表法，是學生在教師的引導自我形成的圖式，對培養學生觀察、分析、判斷等抽象能力極為有效。所謂綱要信號圖表是一種由字母、詞匯、數字及其它信號組成的直觀性很強的一種教學輔助工具。圖表通過各種信號，提綱挈領、簡明扼要地把掌握的知識表現出來。可以進行章節小結，加深知識的理解。例如在小結數項級數斂散性判定，使用圖3，有利于學生對所學知識的掌握。

綜上可見，利用圖式理論指導高等數學教學是一個很有價值的課題，而且具有很強的可操作性。心理學家R.M.加涅認為：“圖式理論的精制在不久的將來似乎將會繼續，而這必將影響我們如何對學習環境的創建。”因此，我們有理由相信：在職業教育改革逐漸向縱深發展的今天，圖式理論就該有更大的作為。但是，鑒于圖式理論無論是在數學教學理論方面還是在實踐方面都是一種新興的、正在發展探索的理論，特別是在國內對它的研究還不是很多，因此這既應當引起理論界的高度重視，也應當引起廣大一線數學教師的密切關注。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”