培養(yǎng)職高學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的教學(xué)探討

思維是人類大腦的一種高級而又極其復(fù)雜的運動，它是大腦對外界事物的反映和信息加工。可以說，人類的一切創(chuàng)造性的活動，都離不開思維。職高學(xué)生在思考問題時思路經(jīng)常打不開，只顧圍著教師和書本轉(zhuǎn)，解題生搬硬套，還容易出錯，長此下去必然造成思維的定勢狀態(tài)，這對培養(yǎng)學(xué)生的思維能力會帶來很大的消極作用。

通過教學(xué)，教師要引導(dǎo)學(xué)生的思維由封閉狀態(tài)逐步轉(zhuǎn)化到開放狀態(tài)，使學(xué)生不僅能研究問題的本身，還能研究有關(guān)的其他問題。應(yīng)當(dāng)提倡立體思維，也就是多角度、多層次的思維，引導(dǎo)學(xué)生思考問題應(yīng)當(dāng)多方面地進行，如此既可開闊學(xué)生的思路，又可使學(xué)生得到新的啟發(fā)。下面筆者結(jié)合教學(xué)實踐談?wù)勁囵B(yǎng)職高學(xué)生思維品質(zhì)的幾點看法和體會。

一、一題多解

例1：如圖，已知?荀ABCD中，E為BC的中點，F(xiàn)為CD的中點，試將向量 用 和 表示。

解法一：由于 處于△AEF中，∴ = - 。

又由于 處于△ADF中，

處于△ABE中，

∴ = + ， = + 。

所以 =（ + ）-（ + ）=（ +）-（ +）= （ - ）

這種方法是直接根據(jù)圖中箭頭的暗示得出的，解完后可讓學(xué)生進一步思考 還處于哪個三角形中，引導(dǎo)學(xué)生重新畫圖解題。

解法二： 還處于△CEF中，

例2：在20件產(chǎn)品中，有16件合格品，從中任取3件，其中至少有一件為次品的概率是多少？

解法一：正面思維。

設(shè)從20件產(chǎn)品中任取3件，其中至少有一件為次品為事件A，則至少有一件為次品的概率為P(A)= = 。

解法二：逆向思維。

設(shè)3件全是合格品為事件B，事件B發(fā)生的概率P(B)= = 。

事件B的對立事件可敘述為3件不全是合格品或至少有一件次品，則至少有一件為次品的概率為P( )=1- P(B)=1- = 。

實踐證明，通過一題多解訓(xùn)練學(xué)生由多渠道、多角度求解同一個問題，這對開闊學(xué)生思路、活躍學(xué)生思維大有裨益，而且也有利于引導(dǎo)學(xué)生的思維向較高層次發(fā)展，去掌握解題方法的本質(zhì)因素。

二、一法多用

運用解題思路，改變題目的條件和結(jié)論，使所學(xué)方法得到廣泛的應(yīng)用，而不限制在一個小范圍內(nèi)，就事論事式的解題。

例3：若x＞0，求x+ 的最小值。

利用平均值定理（若干個非負數(shù)的平均值不小于它們的幾何平均值），將“和”的形式不等量地化為“積”的形式，將變量不放大為常量，并驗證等號成立的條件是否合題意，可解得：當(dāng)x=2時，有最小值4。

用同樣的解題思路和方法，只要稍作處理，就可解下列各題:

求x + 的最小值；

若x＜0，求x+ 的最大值；

若x＞0，證明x+ ≥3。

例4：3個房間，現(xiàn)有4人投宿，有多少種安排方法？

分析：顯然是一個可重復(fù)問題，用乘法原理解。由于關(guān)鍵是4人投宿，所以分為四步。第一步，第一個人投宿，3種安排。第二步，第二個人投宿，3種安排。第三步，第三個人投宿，3種安排。第四步，第四個人投宿，3種安排。

所以共有N=3×3×3×3=3 =81種安排方法。

類似題目：

3個郵筒，現(xiàn)要投4封信，有多少種不同的投法？

4個郵筒（空盒），現(xiàn)要投3封信（個球），有多少種不同的投法？

從山頂?shù)缴侥_有3條不同的路，現(xiàn)有5位游客登山，每人可任意登山，則共有多少種不同方式登山？

三、提倡多思及變式應(yīng)用等

對于某些較簡單的題目，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生進一步思考，提倡一式多問、變式應(yīng)用等。對于較復(fù)雜的題目，教師可引導(dǎo)學(xué)生細化問題，分層考慮，各個擊破。

例5：m為何值時，復(fù)數(shù)（m +3m+2）+（m -m-2）i是：

（1）實數(shù)；（2）虛數(shù)；（3）純虛數(shù)？

對于職高學(xué)生來講，這樣的題并不容易，教師在講（1）時可說明，是實數(shù)就不能有虛數(shù)單位，因此i的系數(shù)為零，即虛部m -m-2=0；在講（2）時可說明，是虛數(shù)就要有虛數(shù)單位，因此i的系數(shù)不為零，即虛部m -m-2≠0，恰好和為實數(shù)的條件相反；在講（3）時可說明是純虛數(shù)首先得是虛數(shù)，因此（2）要滿足，“純”是實部為零，m -m-2≠0與m +3m+2=0聯(lián)立成組求解。

講完這道題后，教師還可進一步提問：（4）為零；（5）對應(yīng)點在第一象限？

例6：求證：sin(α+β)sin(α-β)=sin α-sin β。

在證明時學(xué)生都能想到左邊展開成

許多學(xué)生到此做不下去了，還是引導(dǎo)學(xué)生兩邊靠，cos β、cos α右邊沒有，要轉(zhuǎn)化。怎樣轉(zhuǎn)化？根據(jù)特點，只有用同角平方關(guān)系了。

變式練習(xí)：已知：cos(α+β)cos(α-β)= ，求cos α-sin β。

例7：已知三個平面兩兩垂直且交于一點O，空間一點P到三個平面的距離分別為3，4，5，求PO距離。

對于這個問題，學(xué)生們首先想到畫圖，三個垂直的平面總也畫不好，因此我提議學(xué)生們想想墻角落（三面垂直交于一點）。有學(xué)生用手一比畫，想到不就是“已知長方體三條棱長，求長方體的對角線嗎”？PO= =5 。看來，三面垂直還得多看墻角落。

四、提倡對比和歸納

有些學(xué)生對概念一知半解，容易產(chǎn)生混淆與錯覺。有比較才有鑒別，通過對比可以掌握各自的特點和本質(zhì)，從而幫助學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)概念。

例8：例舉下列幾個典型例子進行鑒別：

自然數(shù)與正整數(shù)，正數(shù)和非負數(shù)

空集?覬和集合{0}，子集與真子集

銳角和第一象限的角

直線的傾斜角，復(fù)數(shù)的幅角與幅角主值

充分條件與必要條件等

兩條直線：（1）相交，（2）平行，（3）異面，能確定一個平面嗎？

在學(xué)完一個知識點時，有必要回顧并系統(tǒng)地總結(jié)一下學(xué)過的概念方法等。比如學(xué)完直線一節(jié)，要對幾種直線方程進行總結(jié)；學(xué)完二次曲線，要對它們的定義、性質(zhì)作比較，并歸結(jié)出它們內(nèi)部的聯(lián)系和統(tǒng)一性。

職高教材雖然沒有數(shù)學(xué)歸納法，但也體現(xiàn)了聯(lián)想歸納的思想，比如推導(dǎo)等比、等差數(shù)列的通項公式。職高的教學(xué)更應(yīng)注重數(shù)形結(jié)合思想，比如學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性，也許畫一個圖比進行證明更易判斷。職高數(shù)學(xué)更注重實際應(yīng)用，比如學(xué)習(xí)正、余弦定理，不能只是要求學(xué)生記住它們解三角形的適用范圍，而是要用到零件加工切割等生產(chǎn)活動中去。其實教授職高數(shù)學(xué)，培養(yǎng)職高學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)并不是一件容易的事，它要求教師的教學(xué)語言既要直白簡練，又要有藝術(shù)性和啟發(fā)性，教學(xué)內(nèi)容既要細致周密，又要高度提煉，每一堂課都要精心設(shè)置，選擇最優(yōu)的教學(xué)方法，于無形中傳授各種數(shù)學(xué)思想方法。只要我們努力，那么職高學(xué)生就能迸發(fā)出思維的火花，結(jié)出累累的碩果，將來在社會生產(chǎn)建設(shè)中發(fā)揮更大的作用。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文?！?/p>