巧妙構造函數 解決實際問題

函數解析式揭示了兩變量之間的關系，構造并研究函數關系式是解決許多實際問題及數學問題的最有效的方法。但許多函數問題由于函數解析式復雜、抽象，無法直觀地通過圖像或借鑒熟悉的函數性質解決，給學生解決問題帶來困擾。本文試圖通過常見幾種類型函數問題的探討，尋求解決此類問題的思路和思想方法。

一、利用抽象函數關系式構造熟悉函數并解決問題

抽象函數問題是指沒有具體的函數關系式（主要是一次函數、二次函數、指對數函數，三角函數等），給出的是一個該函數性質類的關系式，要求研究該函數的其他性質。

例1：已知函數f(x)的定義域為R，對任意的x，y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且x＞0時，f(x)＜0，f(1)=-2，則f(x)在［-3，3］上的最大值為?搖?搖?搖，最小值為?搖?搖?搖。

［析］構造函數f(x)=kx，由已知條件知k=-2。數形結合得最值。

類似題：已知函數f(x)的定義域為R，對任意的x，y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且f(1003)=2，則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2005)=2006。

［析］構造函數f(x)= x。

例2：設f(x)是定義在(0，+∞)上的增函數，且f( )=f(x)-f(y)，若f(2)=1，則f(4)= 2 。

［析］構造函數f(x)=log2x，則f(4)=log24=2。

類似題：已知定義域為R的函數f(x)對任意的實數x，y滿足f(x+y)+f(x-y)=2f(x)cosy，且f(0)=1，f( )=0。給出下列結論：①f( )= ；②f(x)為奇函數；③f(x)為周期函數；④f(x)在(0，π)內為單調函數。其中正確的結論是③④。（填上所有正確結論的序號）

［析］構造函數f(x)=cosx。

當然，這只是題設函數的特殊情況，用以推測題設函數的性質，具體問題還要用一般方法解決（如賦值法、抽象函數關系式變式反復使用等解題技巧）。

二、巧妙換元后轉化為熟悉函數解決問題

許多問題所給函數解析式是一種復合函數，可以通過換元，利用內、外函數的復合轉化為熟悉的函數解決問題。

（復合函數單調性法則是“同增異減”，即內、外函數單調性相同，復合函數為增函數，否則為減函數。）

例3：已知向量 =( ，-1)， =( ， )。

（1）若存在不為0的實數k和角α，α∈(- ， )，使 = +(tan α-3) ， =-k +(tanα) 且 ⊥ ，試求函數關系式k=f(α)； （2）對（1）中的k=f(α)，求k=f(α)，α∈(- ， )的極值。

［析］（1）k= tan α- tanα。（2）換元令x=tanα，構造函數k= x - x(x∈R)，利用導數求得x=1，即α= 時k的極小值為- ；x=-1，即α=- 時k的極大值為 。

三、引進恰當的變量構建函數解決問題，特別是實際問題

客觀世界從某種意義上講是變量的世界，解決許多實際問題可以通過收集、分析數據，引進變量，構造合理的函數關系式，通過研究構造的函數關系式解決實際問題。

例4：請您設計一個帳篷。它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側棱長為3m的正六棱錐（如右圖所示）。

試問當帳篷的頂點Ｏ到底面中心Ｏ 的距離為多少時，帳篷的體積最大？

［析］設OＯ 為xm，則1＜x＜4。

由題設可得正六棱錐底面邊長為 = ，（單位：m）

故底面正六邊形的面積為6#8226; #8226;( ) = (8+2x-x )，（單位：m ）

帳篷的體積為Ｖ(x)= #8226;(8+2x-x )#8226;［ （x-1）+1］= (16+12x-x )。（單位：m ）利用導數知識知，當x=2時，V(x)最大為16 m 。

四、利用題設條件巧妙構造熟悉性質的函數，解決問題

許多問題所給函數關系式復雜，就其本身很難研究。但只要合理變形，就能構造新的我們熟悉的函數，利用它們的性質研究所給函數的性質方便、快捷。

例5：已知函數f(x)= (x∈R)的最大值為M，最小值為m，則M+m=?搖?搖?搖。

［析］f(x)= +1=g(x)+1，g(x)= 為奇函數，g(x)的最大值與最小值的和為零，故M+m=2。

類似題：已知函數f(x)= 的最大值為M，最小值為m，則M+m=?搖?搖?搖。

［析］f(x)= +1=g(x)+1，g(x)為奇函數，M+m=2。

類似題：已知函數f(x)=6x +9x+1若f(a)+f(a-1)＞2，則a的取值范圍是?搖?搖?搖。

［析］構造函數g(x)=f(x)-1=6x +9x為奇函數，為增函數。則由題有f(a)-1＞-［f(a-1)-1］，即g(a)＞-g(a-1)，g(a)＞g(１-a)。所以a＞1-a，解得a＞ 。

例6：如果(1+sin θ)sinθ＞(1+cos θ)cosθ，且θ∈(0，2π)，那么角θ的取值范圍是?搖?搖?搖。

［析］構造函數f(x)=(1+x )x=x +x，則f′(x)=5x +1＞0，f(x)為R上的增函數。故由題知sinθ＞cosθ，而θ∈(0，2π)，所以θ∈( ， )。

類似題：使(log23) -(log53) ≥(log23) -(log53) ，則x，y的大小關系是?搖?搖?搖。

［析］ 構造函數f(x)=(log23) -(log53) ，由于y =(log23) 為增函數，y =(log53) 為減函數，故f(x)為增函數，由題知f(x)≥f(y)，知x≥y。

例7：已知函數f(x)=lnx，g(x)=x。當x＞1時，求證：f(x)＞2g( )。

［析］構造函數h(x)=f(x)-2g( )，利用導數知h(x)在(1，+∞)是增函數，故h(x)＞h(1)，得證。

五、利用題設條件巧妙構造熟悉圖像的函數，解決問題

數形結合是解決函數類問題的基本思想方法。但實際問題中的許多函數往往很難描繪它的圖像。但很多情況下所給函數解析式可以合理變形，構造新的熟悉圖像的函數，利用新函數的圖像研究、解決問題。

例8：已知函數f(x)=(x-a)(x-b)-1(a＜b)的兩零點為α，β(α＜β)，試比較a，b，α，β的大小。

［析］令g(x)=(x-a)(x-b)，g(x)的兩零點分別為a，b，g(x)的圖像下移一個單位即得f(x)的圖像，數形結合有α＜a＜b＜β。

例9：已知函數f(x)=6x +9x+1，若f(a)+f(a-1)＞2，則a的取值范圍是?搖?搖?搖。

［析］構造函數g(x)=f(x)-1=6x +9x為奇函數，為增函數。則由題有f(a)-1＞-［f(a-1)-1］，即g(a)＞-g(a-1)，g(a)＞g(1-a)，所以a＞1-a，解得a＞ 。

其實，構造熟悉的函數解決問題，實質依然是轉化的思想，即化未知函數為熟悉函數，利用熟悉函數的圖像和性質解決問題。已有的知識經驗是解決未知問題的鑰匙，只有熟練掌握常見函數的圖像和性質，理解函數的基礎知識，勤于思考，善于總結，勇于探索，才能找到解決問題的途徑，到達成功的彼岸。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”