淺談數(shù)學(xué)教學(xué)中反例的功能

摘要：數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)密的科學(xué)， 它有自己獨特的思維方式和邏輯推理體系。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中， 讓學(xué)生掌握嚴(yán)密的邏輯推理的同時，應(yīng)鼓勵學(xué)生多去舉反例，這才能更深刻掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，多層面、多角度觀察思考問題，提高其數(shù)學(xué)修養(yǎng)與培養(yǎng)科學(xué)研究能力。

關(guān)鍵詞：反例；理解概念；糾正錯誤；否定謬論

在數(shù)學(xué)的發(fā)展史上，反例與證明占有同等重要的地位。一個正確的數(shù)學(xué)命題需要嚴(yán)密的證明，謬誤則靠反例即可否定。反例在發(fā)現(xiàn)和認(rèn)識數(shù)學(xué)真理，強(qiáng)化數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的理解和掌握，培養(yǎng)學(xué)生思維能力和創(chuàng)造能力，以及提高學(xué)生解題速度等方面，有著不可低估的意義和作用。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中適當(dāng)運(yùn)用反例，可以收到事半功倍的效果。

1. 反例是理解概念的重要工具

概念是數(shù)學(xué)理論和方法的基礎(chǔ)。在概念教學(xué)中， 教師不僅要運(yùn)用正面的例子來深刻闡明其本質(zhì)屬性，而且要靈活借助反例加深學(xué)生對概念中的關(guān)鍵詞和本質(zhì)特征的認(rèn)識，強(qiáng)化對概念的理解。

例如關(guān)于函數(shù)的概念，不少學(xué)生片面地認(rèn)為：一個變量隨著另一個變量的變化而變化，它們之間的關(guān)系就是函數(shù)關(guān)系。為了幫助學(xué)生澄清、糾正這一錯誤認(rèn)識，可向?qū)W生提出這樣的兩個問題：

(1)考試成績與學(xué)習(xí)時間成函數(shù)關(guān)系嗎?

(2)若y=tanx·cotx，則y是x的函數(shù)嗎?

結(jié)果不少學(xué)生都認(rèn)為：(1)考試成績與學(xué)習(xí)時間有關(guān)系，因而考試成績與學(xué)習(xí)時間構(gòu)成函數(shù)關(guān)系。而(2)中由于y=tanx·cotx=1，因變量y不隨x的變化而變化(y=1)，故y不是x的函數(shù)。我?guī)ьI(lǐng)學(xué)生一起討論，發(fā)現(xiàn)問題(1)里，盡管考試成績與學(xué)習(xí)時間有關(guān)系，但學(xué)習(xí)時間并不能確定考試成績，即當(dāng)自變量(學(xué)習(xí)時間)發(fā)生變化時，因變量(考試成績)沒有完全確定的值和它對應(yīng)，因此不符合函數(shù)的定義。而在問題(2)里，對每一個給定的x值(在x的定義域內(nèi))，y隨x總有唯一確定的值(y=1)和它對應(yīng)，只不過當(dāng)x變化時，y的值始終不變罷了。由此使學(xué)生認(rèn)識到y(tǒng)是x的函數(shù)，并非一定要求y隨x的變化而變化。

通過所舉兩個反例的學(xué)習(xí)，學(xué)生便自覺地體會到：對變量x的每一個確定的值，變量y有唯一確定的值和它對應(yīng)，這才是構(gòu)成函數(shù)關(guān)系的本質(zhì)。

2. 反例是強(qiáng)調(diào)條件的有力措施

任何公式、定理和法則都有它成立的條件和適用的范圍，離開條件或者超越范圍就會犯錯誤。所以教學(xué)中要適當(dāng)引用一些反例，幫助學(xué)生牢固地掌握所學(xué)的知識，減少失誤。

例如在高等數(shù)學(xué)中，羅爾定理有條件：(1)f(x)在閉區(qū)間[a， b]上連續(xù)，(2)f(x)在開區(qū)間(a， b) 內(nèi)可導(dǎo)，(3)f(x)在區(qū)間端點處的函數(shù)值相等， 即f(a)=f(b)。結(jié)論是至少存在一點?孜∈(a，b)，使f ' (?孜)=0.可通過反例說明羅爾定理的條件對其結(jié)論的正確性是必不可少的，如果少了一個條件，定理的結(jié)論就可能不成立。

(濮陽職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)與信息工程系)