貴重奢侈品銷售貯存的馬氏鏈模型

[摘要] 馬氏鏈模型通常用于描述具有無(wú)后效性的，時(shí)間、狀態(tài)均為離散的隨機(jī)轉(zhuǎn)移過(guò)程，本文針對(duì)貴重奢侈品銷售貯存的特點(diǎn)，構(gòu)造了馬氏鏈模型，并進(jìn)行了敏感性分析，說(shuō)明模型的合理性。

[關(guān)鍵詞] 銷售貯存 馬氏鏈(Markov Chain) 泊松（Poisson）分布

一、馬氏鏈模型簡(jiǎn)介與應(yīng)用

在考察有隨機(jī)因素影響的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)時(shí)，常常碰到這樣的情況：系統(tǒng)在每個(gè)時(shí)期所處的狀態(tài)是隨機(jī)的，從這個(gè)時(shí)期到下個(gè)時(shí)期的狀態(tài)按照一定的概率進(jìn)行轉(zhuǎn)移，并且下個(gè)時(shí)期的狀態(tài)只取決于這個(gè)時(shí)期的狀態(tài)和轉(zhuǎn)移概率，與以前各時(shí)期的狀態(tài)無(wú)關(guān)。這種性質(zhì)稱為無(wú)后效性，或馬爾可夫（Markov）性。具有無(wú)后效性的，時(shí)間、狀態(tài)均為離散的隨機(jī)轉(zhuǎn)移過(guò)程通常用馬氏鏈（Markov Chain）模型描述。馬氏鏈模型在經(jīng)濟(jì)、社會(huì)、生態(tài)、遺傳等許多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。

二、馬氏鏈及其基本方程

按照系統(tǒng)的發(fā)展，時(shí)間離散化為，對(duì)每個(gè)n，系統(tǒng)的狀態(tài)用隨機(jī)變量表示，設(shè)可以取k個(gè)離散值，且記，即狀態(tài)概率，從到的概率記，即轉(zhuǎn)移概率。如果的取值只取決于的取值及轉(zhuǎn)移概率，而與，的取值無(wú)關(guān)，那么這種離散狀態(tài)按照離散時(shí)間的隨機(jī)轉(zhuǎn)移過(guò)程稱為馬氏鏈。由狀態(tài)轉(zhuǎn)移的無(wú)后效性和全概率公式可以寫(xiě)出馬氏鏈的基本方程為

（1）

并且和應(yīng)滿足

（2）

（3）

（4）

引入狀態(tài)概率向量和轉(zhuǎn)移概率矩陣，（3）式表明轉(zhuǎn)移矩陣P是非負(fù)陣，（4）式表示P的行和為1，稱為隨機(jī)矩陣。

定義1一個(gè)有k個(gè)狀態(tài)的馬氏鏈如果存在正整數(shù)N，使從任意狀態(tài)i經(jīng)N次轉(zhuǎn)移都以大于零的概率到達(dá)狀態(tài)，則稱為正則鏈。

用下面的定理容易檢驗(yàn)一個(gè)馬氏鏈?zhǔn)欠駷檎齽t鏈。

定理1若馬氏鏈的轉(zhuǎn)移矩陣為P，則它是正則鏈的充要條件是：存在正整數(shù)N使（指的每一元素大于零）。

定理2正則鏈存在惟一的極限狀態(tài)概率，使得當(dāng)時(shí)狀態(tài)概率與初始狀態(tài)概率無(wú)關(guān)。w又稱為穩(wěn)態(tài)概率，滿足

（5）

（6）

三、貴重奢侈品銷售存貯的馬氏鏈模型假設(shè)與建立

像汽車、鋼琴這樣的貴重奢侈品銷售量很小，商店里一般不會(huì)有多大的庫(kù)存量讓它積壓資金。這里通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)單的實(shí)例來(lái)分析、評(píng)價(jià)一種貯存策略的效果。

一家商店根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，平均每周只能售出1架鋼琴?，F(xiàn)在經(jīng)理制定的貯存策略是:每周末檢查庫(kù)存量，僅當(dāng)庫(kù)存量為零時(shí)，才訂購(gòu)3架供下周銷售；否則，不訂購(gòu)。試估計(jì)這種策略下失去銷售機(jī)會(huì)的可能性有多大，以及每周的平均銷售量是多少？

我們對(duì)問(wèn)題提出以下模型假設(shè)：(1)鋼琴每周需求量服從泊松分布，均值為每周1架；(2)貯存策略是當(dāng)周末庫(kù)存量為零時(shí)，訂購(gòu)3架，周初到貨，否則，不訂購(gòu)；(3)以每周初的庫(kù)存量作為狀態(tài)變量，狀態(tài)轉(zhuǎn)移具有無(wú)后效性；(4）在穩(wěn)態(tài)情況下計(jì)算該貯存策略失去銷售機(jī)會(huì)的概率，和每周的平均銷售量。

記第n周的需求量為，由假設(shè)1，服從均值為1的泊松分布，即 （7）

記第n周初的庫(kù)存量為是這個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)變量，由假設(shè)2，狀態(tài)轉(zhuǎn)移規(guī)律為。

由（7）式和狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率計(jì)算公式，得矩陣

。

記狀態(tài)概率，根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移具有無(wú)后效性的假設(shè)，有。用定理1對(duì)照得到的轉(zhuǎn)移矩陣P，可知這是一個(gè)正則鏈，具有穩(wěn)態(tài)概率分布可由（5），（6）式得到。

該貯存策略（第n周）失去銷售機(jī)會(huì)的概率為，按照全概率公式有 其中的條件概率容易由（7）式計(jì)算。當(dāng)充分大時(shí)，可以認(rèn)為

最終得到，即從長(zhǎng)期看，失去銷售機(jī)會(huì)的可能性大約10%。

在計(jì)算該貯存策略（第n周）的平均銷售量時(shí)，應(yīng)注意到，當(dāng)需求超過(guò)存量時(shí)只能銷售掉存量，于是

同樣地，當(dāng)n充分大時(shí)用穩(wěn)態(tài)概率代替，得到，即從長(zhǎng)期看，每周的平均銷售量為0.857架。

四、模型的敏感分析和進(jìn)一步研究方向

這個(gè)模型用到的惟一一個(gè)原始數(shù)據(jù)是，平均每周售出1架鋼琴，這個(gè)數(shù)值會(huì)有波動(dòng)。為了計(jì)算當(dāng)平均需求在1附近波動(dòng)時(shí)，最終結(jié)果有多大變化，設(shè)服從均值為的泊松分布，即有，由此得狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為

對(duì)于不同的平均需求（在1附近），類似于上面的計(jì)算過(guò)程，記，可得到以下結(jié)果：

即當(dāng)平均需求增長(zhǎng)（或減少）10%時(shí)，失去銷售機(jī)會(huì)的概率將增長(zhǎng)（或減少）約15%，這是可以接受的。

本文介紹的是對(duì)已經(jīng)制定的貯存策略，用兩個(gè)指標(biāo)加以評(píng)價(jià)，還可以給出其他的策略和指標(biāo)，做進(jìn)一步的研究。

參考文獻(xiàn)：

[1]姜啟源謝金星:數(shù)學(xué)模型[M].高等教育出版社，2003．

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