乘積函數(shù)的對稱性問題

a摘要： 本文研究了形如g(x)=f(a+wx)#8226;f(b-wx)的兩個函數(shù)乘積的對稱性問題，證明了函數(shù)g(x)關(guān)于直線x= 對稱。

關(guān)鍵詞： 乘積函數(shù) 對稱性

一、引言

函數(shù)的對稱性是函數(shù)很重要的一個性質(zhì)，最基本的對稱性是函數(shù)的奇偶性。關(guān)于函數(shù)的對稱性，已經(jīng)有很多的結(jié)論，但是對于形如g(x)=f(a+wx)#8226;f(b-wx)的函數(shù)的對稱性還未見有研究。

在我校高三2007年十月份的考題中有下面的一道題：

方程f(x+3)#8226;f(1-x)=0有五個不相等的實數(shù)根，則這五根之和為( )。

A10B5 C -10D -5

對稱性的問題教師講得很多，學(xué)生也很熟悉，但是本題學(xué)生做對的很少。本題解法很多，下面是其中兩種解法：

解法一：

假如x=a時，f(x+3)=0，可知即f(a+3)=0，由f(a+3)=f［1-(-2-a)］=0知道x=-2-a也是這個方程的一個解。所以可知這個方程的解是成對出現(xiàn)的，就是說f(x+3)若有某解，則可以推出f(1-x)有一個另外的解。而且這兩個解的和是a+(-2-a)=-2，但是題目要求這個方程有5個不相等的實根，因為5是奇數(shù)，與“成對”有點(diǎn)小矛盾，所以可以知道，其實是因為f(x+3)=0與f(1-x)=0的一個根重復(fù)了。這個方程本來有6個根，但是重復(fù)了一個，所以只剩下5個了。 （為什么不是3個根、5個根重復(fù)呢?因為y=x+3與y=1-x是兩條直線，只能有一個交點(diǎn)。）可以聯(lián)立方程x+3=1-x，得到重根是x=-1。因為一對根（2個）的和是-2，所以6個根的和是-6。但是少了一個重根x=-1，所以結(jié)果5個不相等的實數(shù)根的和是-6-(-1)=-5。

解法二：

令g(x)=f(x+3)#8226;f(1-x)，則g(-x-2)=f(-x-2+3)#8226;f(1-(-x-2))=f(1-x)#8226;f(x+3)=g(x)，從而g(-1+x)=g(-1-x)，即函數(shù)g(x)關(guān)于直線x=-1對稱，從而五根之和為-5。

二、主要結(jié)果

上述解法二可以推廣到一般的情況，即有下面的結(jié)果：

定理1：函數(shù)f(a+x)#8226;f(b-x)關(guān)于直線x= 對稱，其中a，b為已知參數(shù)。

證明：令g(x)=f(a+x)#8226;f(b-x)，則

g( +x)=f(a+ +x)#8226;f(b-( +x))=f( +x)#8226;f( -x)

g( -x)=f(a+ -x)#8226;f(b-( -x))=f( -x)#8226;f( +x)

所以g( +x)=g( -x)

g(x)關(guān)于直線x= 對稱。

更一般的，有下面的結(jié)果：

定理2：函數(shù)f(a+wx)#8226;f(b-wx)關(guān)于直線x= 對稱，其中a，b，w為已知參數(shù)。

證明：令h(x)=f(a+wx)#8226;f(b-wx)，則

h( +x)=f(a+w( +x))#8226;f(b-w( +x))

=f( +wx)#8226;f( -wx)

h( -x)=f(a+w( -x))#8226;f(b-w( -x))

=f( -wx)#8226;f( +wx)

所以h( +x)=h( -x)

h(x)關(guān)于直線x= 對稱。

結(jié)合一中給出的考題，我們也可以得到如下的結(jié)果：

定理3：方程f(a+wx)#8226;f(b-wx)=0（a，b，w為已知參數(shù)），則在任意以 為對稱中心的閉區(qū)間上：

(1) 若f( )≠0，方程要么無實根，要么有2n(n∈N )個不同的實數(shù)根，且這2n個實根之和為2n#8226; ；

(2) 若f( )=0，方程有2n+1(n∈N )個不同的實數(shù)根，且這個實根之和為(2n+1)#8226; 。

參考文獻(xiàn)：

［1］劉培杰.新編中學(xué)數(shù)學(xué)解題方法全書高中版上卷.哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2006.11.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。”