淺析高職數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)

摘要： 本文通過實(shí)例分析，介紹了數(shù)形結(jié)合、換元、轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，指出了高職數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的重要性。

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)思想方法 教學(xué) 高職

隨著數(shù)學(xué)教育改革的不斷深化，重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)已成為廣大數(shù)學(xué)教師的共識(shí)。在平時(shí)的教學(xué)過程中，教師不僅要注重概念、性質(zhì)、公式、定理等表層知識(shí)的講授，更要注重深層知識(shí)即思想方法的教學(xué)，使學(xué)生在知識(shí)學(xué)習(xí)的同時(shí)，掌握其中的數(shù)學(xué)思想方法。“授人以魚，不如授人以漁”，講的就是思想方法的重要性。以下是我從教幾年總結(jié)的對于高職學(xué)生來說重要的數(shù)學(xué)思想方法。

1.數(shù)形結(jié)合的思想方法

“數(shù)”與“形”是數(shù)學(xué)中既有區(qū)別又有聯(lián)系的兩個(gè)對象。著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾精辟地指出：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微。”運(yùn)用數(shù)與形相結(jié)合的思想方法能使抽象的數(shù)學(xué)概念和復(fù)雜的數(shù)學(xué)關(guān)系變得形象直觀，也更容易讓學(xué)生理解和接受。

例1：定義在區(qū)間（-∞，+∞）的奇函數(shù)f（x）為增函數(shù)，偶函數(shù)g（x）在區(qū)間［0，+∞）的圖象與f（x）的圖像重合，設(shè)a＞b＞0，給出下列不等式：

（1）f（b）-f（-a）＞g（a）-g（-b）（2）f（b）-f（-a）＜g（a）-g（-b）

（3）f（a）-f（-b）＞g（b）-g（-a）（4）f（a）-f（-b）＜g（b）-g（-a）

其中成立的是（ ）。

A.（1）與（4）B.（2）與（3）C.（1）與（3）D.（2）與（4）

分析：此題并未給出f（x）與g（x）兩個(gè)函數(shù)具體的函數(shù)式，因此無法采用一般的解題方法，但由題意可畫出大致圖形（見圖一）：

顯然有f（b）-f（-a）＞g（a）-g（-b），f（a）-f（-b）＞g（b）-g（-a），故選C。

2.換元的思想方法

換元的思想方法是用一個(gè)新的變量去代替原來數(shù)學(xué)關(guān)系中的部分式子，以創(chuàng)造出新的條件，使問題化難為易。在授課中，應(yīng)該注意培養(yǎng)學(xué)生的換元思想。

例2：求函數(shù)f（x）=（e -3） +（e -3） 的值域。

分析：函數(shù)f（x）=（e -3） +（e -3） 是無理函數(shù)，學(xué)生感到生疏，不易找到解題思路。可通過變量代換，將無理函數(shù)轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)，化生疏為熟悉。

解：令t=（e +e ），則t∈［2，+∞）

f（x）=e -6e +9+e -6e +9

=t -6t+16=（t-3） +7≥7

故函數(shù)的值域［7，+∞）。

3.轉(zhuǎn)化的思想方法

轉(zhuǎn)化的思想方法就是將所研究的數(shù)學(xué)對象在一定條件下轉(zhuǎn)化為另一種研究對象的數(shù)學(xué)思想方法，其目的就是將問題的條件逐步向問題的結(jié)論轉(zhuǎn)化。

例3：已知b +a =1，0＜a＜1，0＜b＜1，證明：a +b =1。

分析：此題條件中出現(xiàn)了 、 ，我們可以把它看成兩個(gè)斜邊同為1的直角三角形，不妨設(shè)其中一個(gè)直角三角形的直角邊為a、 ；另一直角三角形的直角邊為b、 ，并設(shè)a邊所對的銳角為α，b邊所對的銳角為β。如果將兩個(gè)直角三角形的斜邊合并且使得角α和β相鄰，就組成了一個(gè)四邊形（見圖二）。

證明：根據(jù)已知條件（如圖）得

b +a =sinβcosα+sinαcosβ

=sin（α+β）

=1

所以α+β=

則此四邊形為矩形，從而得a +b =1。

4.分類討論的思想方法

分類討論的思想方法，就是根據(jù)數(shù)學(xué)對象本質(zhì)屬性的共同點(diǎn)和差異點(diǎn)，將數(shù)學(xué)對象區(qū)分為不同種類的方法，便于理清思路，化繁為簡。

例4：由數(shù)字1、2、3、4、5組成沒有重復(fù)數(shù)字，且數(shù)字1和2不相鄰的五位數(shù)，求這種五位數(shù)的個(gè)數(shù)。

分析：此題為排列問題，顯然必須分類討論幾種情況。

解：按所在的位置可分為三類：

①1位于萬位時(shí)，2有p種排法，其余數(shù)字有p種排法，故第一類有pp=18（個(gè)）；

②1位于個(gè)位時(shí)，2有p種排法，其余數(shù)字有p種排法，故第二類仍有pp=18（個(gè)）；

③1位于中間位時(shí)，1有3種排法，2有2種排法，其余數(shù)字有p種排法，故第三類有3×2×p=36（個(gè)）；

所以這樣的五位數(shù)共有18+18+36=72（個(gè)）。

除以上所列四種數(shù)學(xué)思想方法之外，還有建立函數(shù)方程、正難則反的思想方法等，在此不一一列舉。這些重要的數(shù)學(xué)思想方法之間不是互相排斥，而是相互滲透、相互促進(jìn)的。教師在教學(xué)過程中應(yīng)該注意思想方法之間的有機(jī)結(jié)合，注重學(xué)生思維活動(dòng)的訓(xùn)練和培養(yǎng)，旨在提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)素質(zhì)。

當(dāng)然，進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)決不是一朝一夕、一蹴而就的事情，教師應(yīng)該遵循教學(xué)規(guī)律，在表層知識(shí)教學(xué)的基礎(chǔ)之上進(jìn)行有效的深層知識(shí)及思想方法的教學(xué)，而且應(yīng)該把它貫穿于教學(xué)過程的始終。在實(shí)施的過程當(dāng)中，會(huì)遇到不少困難，比如數(shù)學(xué)教材對數(shù)學(xué)思想方法體現(xiàn)不夠、不深刻，學(xué)生的接受能力參差不齊等，這就要求我們數(shù)學(xué)教研室全體教師要多討論、多探索，相信經(jīng)過大家不懈的努力，數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)一定會(huì)取得不錯(cuò)的進(jìn)展。

參考文獻(xiàn)：

［1］梁杏儀.在教學(xué)中如何讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想方法.廣西民族學(xué)院學(xué)報(bào)，2002.5.

［2］王文省.王樹澤.郭文彬.數(shù)學(xué)思想方法及其功能.天津市教科院學(xué)報(bào)，2006.4.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。”