重視問題反思，發(fā)展數(shù)學(xué)思維

不少學(xué)生平時解題只重解題過程及結(jié)果，往往忽略對問題的反思，學(xué)生若能在對問題的反思中獲取知識，則有助于拓寬思路，防止錯解，克服思維定勢，同時可以不斷積累經(jīng)驗，培養(yǎng)思維的發(fā)散性、全面性，增強創(chuàng)造性解決問題的能力。

一、反思所學(xué)知識，形成完整的知識體系

問題的設(shè)計應(yīng)該建立在所學(xué)知識的基礎(chǔ)上，隨著學(xué)生學(xué)習(xí)的深入，所學(xué)知識越來越多，知識面越來越寬。因此在解完一道問題后，可以引導(dǎo)學(xué)生反思這道題考查了哪些所學(xué)的知識點，有利于學(xué)生加深對所學(xué)知識的記憶，拓展知識體系。

在教學(xué)球的接切問題時，我舉了一道例子：

正三棱錐S-ABC中，M，N分別為SC，BC的中點，MN⊥AM，SA=2 ，求正三棱錐S-ABC的外接球的體積。解題后我讓學(xué)生總結(jié)了題目所考查的知識點：正三棱錐的性質(zhì)：對棱垂直，側(cè)面為全等的等腰三角形線面垂直的判定定理；“墻角型”三棱錐的外接球半徑求法。這道題考查了立體幾何的重要性質(zhì)、定理、公式，同時，錐球的內(nèi)在聯(lián)系通過“接”得以實現(xiàn)，總結(jié)了這些以后，學(xué)生對所學(xué)的知識就有了更深的認(rèn)識了。

二、反思解題規(guī)律，解題思想方法，探求共性，提高解題能力

同一類題目解法一般都有其規(guī)律性，一般蘊涵在一定的數(shù)學(xué)思想方法下，因此一個問題解決后，要引導(dǎo)學(xué)生對解題過程中反映的數(shù)學(xué)思想、方法、解題規(guī)律進(jìn)行反思，從中總結(jié)、概括找出普遍適用的東西，以現(xiàn)在解決的問題的經(jīng)驗幫助今后問題的解決。在講解2007年高考福建理科卷20題時我引導(dǎo)學(xué)生一起總結(jié)了這道題所考查的思想方法、解題的規(guī)律，同時對問題做了變式，讓學(xué)生能運用所總結(jié)的方法進(jìn)行開放式探究：

如圖，已知點F（1，0），直線l∶x=-1，p為平面上的動點，過p作直線l的垂線，垂足為點Q，且 #8226; = #8226; 。

（Ⅰ）求動點的p軌跡C的方程；

（Ⅱ）過點F的直線交軌跡C于A，B兩點，交直線l于點M，已知 =λ， =λ，求λ +λ 的值。

在解題的過程中學(xué)生通過對原問題的解題思路、思想方法的反思，領(lǐng)會了同類問題的解法，培養(yǎng)了觸類旁通的能力，原問題變式的求解對學(xué)生來說就沒有多大的困難了。

三、反思思維過程，開闊思路，培養(yǎng)思維靈活性

解題的關(guān)鍵是從未知和已知尋找解題途徑，在做完一道題后的反思，不僅要進(jìn)行總結(jié)和檢驗，還應(yīng)該根據(jù)題目的特征與特殊元素進(jìn)行多角度、多方位的觀察、聯(lián)想，反思是否還有新的解題途徑，有更佳、最簡單的解法，使學(xué)生思維的靈活性在多解中得到培養(yǎng)和發(fā)展。

例題：橢圓 + =1的焦點是F 、F ，橢圓上一點P滿足PF ⊥PF ，下面結(jié)論正確的是（ ）。

（A）P點有兩個 （B）P點有四個 （C）P點不一定存在 （D）P點一定不存在

常規(guī)思路：求利用焦半徑公式結(jié)合勾股定理求點P坐標(biāo)看個數(shù)。

思路2：由橢圓性質(zhì)知：當(dāng)p點在短軸端點處∠F PF 最大，想到由∠F PF 大小來判別點P個數(shù)。

解：設(shè)∠F PF =2α，tanα= ＜1，α＜ ，∴此時∠F PF 為銳角，與題設(shè)矛盾。故選D。

思路3：由PF ⊥PF 聯(lián)想圓的定義知：P在以F ，F(xiàn) 為直徑端點的圓上，即判別以F ，F(xiàn) 為直徑端點的圓與橢圓的交點個數(shù)，從而想到更簡捷的解法。

解：以F F 為直徑構(gòu)圓，知：圓的半徑r=c=3＜4=b，即圓與橢圓不可能有交點。故選D。

通過引導(dǎo)學(xué)生反思多種解法，不僅培養(yǎng)了學(xué)生思維的多樣性，同時還揭示了同類問題的常用解題技巧，而且有助于學(xué)生能力的提高。

四、反思錯解原因，提高思維全面性

學(xué)生在解題中出現(xiàn)的錯誤有知識缺陷造成的，又有能力缺陷造成的，也有邏輯、策略上造成的，更有非智力因素如思維定勢造成的，應(yīng)以此為切入點，正確引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思。

例：光線每通過一塊玻璃，其強度要失掉10%，把幾塊同樣的玻璃重疊起來，通過它們的光線的強度減弱到原來強度的 以下，那么至少重疊______塊玻璃。（lg3=0.477）

學(xué)生這樣解：設(shè)玻璃數(shù)需要n塊?！撸?-10%） ＜ ，兩邊取以10為底的對數(shù)，得nlg0.9＜lg =-lg3，∴n＜ = = = ≈10.4。

發(fā)現(xiàn)求得的結(jié)果變成是至多10塊，與題意要求至少多少塊不符，錯誤原因在哪呢？我引導(dǎo)學(xué)生反思：運算變形不等式兩邊同除lg0.9時沒注意lg0.9并非為正數(shù)，而為負(fù)數(shù)。

失誤的原因：解不等式時受心理定勢影響與解方程等同起來，未判別除數(shù)符號，導(dǎo)致錯誤。

因此，引導(dǎo)學(xué)生對問題多角度的解后反思能促進(jìn)學(xué)生從新的角度，多層次、多側(cè)面地對問題及解決問題的思維過程進(jìn)行全面的分析與思考，從而深化對問題的理解，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，這是我們教師在教學(xué)實踐中應(yīng)當(dāng)嘗試的探索。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。”